Question

已知：在△ABC中，AD为中线，如图1，将△ADC沿直线AD翻折后点C落在点E处，连接BE和CE．
（1）求证：BE⊥CE；
（2）若AC=DC（如图2），请在图2中画出符合题意的示意图，并判断四边形ADBE是什么四边形？请证明你的结论．

Answer 1

证明：∵△ADC沿直线AD翻折后点C落在点E处，
∴△ADC≌△ADE，
∴CD=ED，
∴∠DCE=∠DEC，
∵AD为中线，
∴BD=DC，
∴BD=DE，
∴∠DBE=∠DEB，
∵∠DBE+∠BEC+∠ECB=180°，即2∠DEB+2∠CED=180°，
∴∠DEB+∠CED=90°，
∴BE⊥EC．

（2）解：如图，ADBE是平行四边形．理由如下：
∵△ADC沿直线AD翻折后点C落在点E处，
∴△ADC≌△ADE，
∴AE=AC，DE=DC
∵AC=DC，
∴AE=AC=DE=DC，
∴AEDC是菱形，
∴AE∥DC，且AE=DC
∵AD是中线，∴BD=DC，
∴AE∥BD，且AE=BD
∴ADBE是平行四边形．
分析：（1）由翻折的性质知△ADC≌△ADE?CD=ED，而点D是BC的中点，则BD=CD=DE，由等边对等角得到∠DCE=∠DEC，∠DBE=∠DEB，且有∠DCE+∠DEC+∠DBE+∠DEB=180°?2∠DEB+2∠CED=180°?∠DEB+∠CED=90°，即BE⊥EC；
（2）易得AEDC是菱形，故AE∥DC，且AE=DC，而点D是BC的中点，有CD=BD，则AE=BD，由一组对边平行且相等可判定四边形ADBE是平行四边形．
点评：本题考查了翻折的性质，对应边相等，对应角相等，对应图形全等及特殊四边形的判定和性质．第（1）小题也可用若三角形一边上的中线等于该边的一边，则三角形是直角三角形来判定．