Question

【题目】已知正方形ABCD，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与A重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC、CD于M、N.

（1）当M、N分别在边BC、CD上时（如图1），求证：BM+DN=MN；

（2）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图2，图3），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论；

（3）在图3中，作直线BD交直线AM、AN于P、Q两点，若MN=10，CM=8，求AP的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）图2的结论：MN+DN=BM；图3的结论：MN+BM=DN.理由见解析；（3）.

【解析】

（1）作AE⊥AN交CB的延长线于E，证明△ABE≌△ADN，由此得到AE=AN，BE=DN.而根据∠MAN=45°，∠BAD=90°，可以得到∠EAM=∠NAM=45°，从而证明△AMN≌△AME，然后根据全等三角形的性质可以证明BM+DN=MN；

（2）如图2，在BC上截取BG=DN，连接AG，然后也可以证明△AMN≌△AMG，也根据全等三角形的性质就可以得到结论；

如图，MN+BM=DN．在ND上截取DG=BM，连接AG，首先证明△AMB≌△AGD，再证△AMG为等腰直角三角形，即可．

（3）连接AC，在直角三角形MNC中，由MN和CM的长，利用勾股定理求出CN的长，根据图3的结论等量代换即可求出BC的长，从而利用勾股定理求出AC的长，根据同角的余角相等得到一对锐角相等，再根据45度的邻补角相等得到一对钝角相等，利用两对角相等的两三角形相似，可得三角形ABP与三角形ACN相似，且相似比为在直角三角形AND中，利用勾股定理求出AN的长，代入比例式即可求出AP的长．

解：（1）证明：作AE⊥AN交CB的延长线于E，

∵∠EAB+∠BAN=90°，∠NAD+∠BAN=90°，

∴∠EAB=∠NAD.

又∵∠ABE=∠D=90°，AB=AD，

∴△ABE≌△ADN（ASA），

∴AE=AN，BE=DN.

∵∠NAM=45°，AM=AM，

∠EAM=

∴△AME≌△AMN.

∴MN=ME=MB+BE

∴MN =MB+DN.

（2）图2的结论：MN+DN=BM；理由如下：

在BC上截取BG=DN，连接AG，

∵∠B=∠ADN=90°，AB=AD，

图3的结论：MN+BM=DN.理由如下：

在ND上截取DG=BM，

∵AD=AB，∠ABM=∠ADN=90°，

∴△ADG≌△ABM，

∴AG=AM，∠MAB=∠DAG，

∵∠MAN=45°，∠BAD=90°，

∴∠MAG=90°，△AMG为等腰直角三角形，

∴AN垂直MG，

∴AN为MG垂直平分线，

所以NM=NG．

∴DN-BM=MN．

（3）连接AC.

∵MN=10，CM=8，

在Rt△MNC中，根勾股定理得：MN2=CM2+CN2，

即102=82+CN2，∴CN=6，

由图3的结论：MN+BM=DN.

∴MN+CM－BC=DC+CN，

∴CM－CN+MN=2BC，

∴8－6+10=2BC，

∴BC=6.∴.

∵∠BAP+∠BAQ=45°，∠NAC+∠BAQ=45°，

∴∠BAP=∠NAC.

又∠ABP=∠ACN=135°，

∴△ABP∽△CAN，

∴.

∵在Rt△AND中，

根据勾股定理得：AN2=AD2+DN2=36+144，

解得.

∴，

∴.