Question

【题目】已知是等腰直角三角形，，点是的中点，延长至点，使，连接（如图①）.

（1）求证：≌；

（2）已知点是的中点，连接（如图②）.

①求证: ≌；

②如图③，延长至点，使，连接，求证：.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析.

【解析】

(1)由点M是AC中点知AM＝CM，结合∠AMD＝∠CMB和DM＝BM即可得证;

(2)①由点M，N分别是AC，BC的中点及AC＝BC可得CM＝CN，结合∠C＝∠C和BC＝AC即可得证;

②过点作交于点，得∠NAC＝∠AEF，由（1）可知，则可证，可证≌，据此知，再证，又得，又因为，从而得，即可得证.

（1）∵是中点

∴

又∵

∴在与中

∴≌()

（2）① 是等腰直角三角形

∴

∵ 是中点，是中点

∴ ，

∴

又∵

∴在与中

∴≌()

② 过点作交于点

∵

∴

由（1）可知≌

∴ ，

∴

∴

在和中

∴ ≌()

∴ ，，

∵ 为中点

∴ 为中点

∴ 垂直平分

∴

∴

∵

∴

∵

∴

即

∴