如图.在矩形ABCD中.AB=3.AD=10.P是AD边上动点.⊙B是以B为圆心.BP为半径的一个圆．(1)如图1.若CP与⊙B相切.求AP的长,(2)如图2.若经过点P的圆的切线与线段BC相交于点F.与DC的延长线相交于点E.设AP=x.CE=y.求y关于x的函数解析式.并写出自变量x的取值范围,(3)若经过点P的⊙B切线与直线BC相交于点F.当CF=2时.求AP的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=10，P是AD边上动点（不与A，D重合），⊙B是以B为圆心，BP为半径的一个圆．
（1）如图1，若CP与⊙B相切，求AP的长；
（2）如图2，若经过点P的圆的切线与线段BC相交于点F，与DC的延长线相交于点E，设AP=x，CE=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）若经过点P的⊙B切线与直线BC相交于点F，当CF=2时，求AP的长．

分析：（1）若CP与⊙B相切，则BP⊥PC，设AP=x，可分别在直角三角形ABP和PDC中表示出BP和CP的平方，然后在直角三角形BCP中，用勾股定理即可求出AP的长．（也可通过相似三角形ABP和DPC来求出AP的长）．
（2）本题可仿照（1）题的第二种思路进行求解．由于∠BPE=90°，易得出△ABP∽△DEP，那么可根据相似三角形得出的关于AB、AP、PD、DE的比例关系式求出y，x的函数关系式．（求x的取值范围时，要先求出E、C重合时，x的值，求出的这两个值之间就是x的取值范围．其实这种情况就是题（1）所求的值．）
（3）本题要分两种情况进行讨论，思路一致．
①当F在BC上时，可在直角三角形CFE中，根据CF的长和相似三角形CEF和DEP求出CE的表达式，然后代入（2）的函数关系式中，即可求出x的值．
②当F在BC延长线上时，解法与①相同．

解答：解：（1）AP的长抛物线和直线的解析式；
设AP=x，则BP=

9+x2

，CP=

9+(10-x)2

，9+x²+9+（10-x）²=100，
解得x为1或9，则AP的长为1或9．

（2）如图2，DE=3+y，AP=x，PD=10-x；
由∠BPE=90°，易知：△ABP∽△DPE，则有

，即

10-x

3+y

，
∴y=-

x²+

x-3（1＜x＜9）．

（3）情况一：当1＜AP＜9时，AP=4±

；
情况二：当0＜AP≤1或9≤AP＜10时，AP=6-3

；
综上所述：AP的长为4±

或6-3

．

点评：本题主要考查了切线的性质、相似三角形的判定和性质、二次函数的应用等知识点．
根据相似三角形来得出的对应成比例线段来求解是本题的基本思路．

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