Question

已知△ABC中，BC=6，AC＞AB，点D为AC边上一点，且DC=AB=4，E为BC边的中点，连接DE，设AD=x．
（1）当DE⊥BC时（如图1），连接BD，则BD的长为

 

；
（2）设

S四边形ABED

S△CDE

=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）取AD的中点M，连接EM并延长交BA的延长线于点P，以A为圆心AM为半径作⊙A，试问：当AD的长改变时，点P与⊙A的位置关系变化吗？若不变化，请说明具体的位置关系，并证明你的结论；若变化，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用已知条件即可得到DE是线段BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可得到BD的长；
（2）分别表示出两个三角形的面积，利用它们的面积的比即可得到函数关系式；
（3）得到AP=AM之后即可得到点与圆的位置关系．

解答：解：（1）连接BD，
∵DE⊥BC，E为BC边的中点，
∴BD=CD=4；

（2）连BD，∵点E为BC中点，
∴S_△BDE=S_△CDE，
∴y=

S△ABD+S△BDE

S△CDE

=

S△ABD

S△CDE

+1，
∵

S△ABD

S△DBC

=

x

4

，
∴

S△ABD

2S△CDE

=

x

4

，
即

S△ABD

S△CDE

=

x

2

∴y=

x

2

+1（0＜x＜6）；

（3）点P在⊙A上．
证明：取AC中点N，则AN=

4+x

2

，
∵M为AD中点，
∴MN=

4+x

2

-

x

2

=2，
∵E为BC中点，
∴NE∥AB，且EN=2，
∴MN=EN，
∵NE∥AB，
∴

AP

NE

=

AM

MN

，
∴AP=AM
∴点P在⊙A上．

点评：本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．