Question

9．某水果经销商到大圩种植基地采购葡萄，经销商一次性采购葡萄的采购单价y（元/千克）与采购量x（千克）之间的函数关系图象如图中折线AB→BC→CD所示（不包括端点A），
（1）当500＜x≤1000时，写出y与x之间的函数关系式；
（2）葡萄的种植成本为8元/千克，某经销商一次性采购葡萄的采购量不超过1000千克，当采购量是多少时，大圩种植基地获利最大，最大利润是多少元？
（3）在（2）的条件下，若经销商一次性付了16800元货款，求大圩种植基地可以获得多少元的利润？

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出当500＜x≤1000时，y与x之间的函数关系式即可；
（2）根据当0＜x≤500时，当500＜x≤1000时，分别求出获利W与x的函数关系式，进而求出最值即可；
（3）根据货款确定采购量x的范围，再由：采购量×采购单价=货款，列方程求出采购量x的值，由（2）可得利润．

解答 解：（1）设当500＜x≤1000时，y与x之间的函数关系式为：y=ax+b，
$\left\{\begin{array}{l}{500a+b=30}\\{1000a+b=20}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-0.02}\\{b=40}\end{array}\right.$．
故y与x之间的函数关系式为：y=-0.02x+40；
（2）当采购量是x千克时，蔬菜种植基地获利W元，
当0＜x≤500时，W=（30-8）x=22x，
则当x=500时，W有最大值11000元，
当500＜x≤1000时，
W=（y-8）x
=（-0.02x+32）x
=-0.02x²+32x
=-0.02（x-800）²+12800，
故当x=800时，W有最大值为12800元，
综上所述，一次性采购量为800千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润为12800元；
（3）当x=500时，y=30，采购总费用为15000元；
当x=1000时，y=20采购总费用为20000元；
∵15000＜16800＜20000，
∴该经销商一次性采购量500＜x＜1000，
故该经销商采购单价为：-0.02x+40，
根据题意得，x（-0.02x+40）=16800，解得x₁=1400（不符合题意，舍去），x₂=600；
当x=600时，大圩种植基地可以获得的利润w=-0.02（x-800）²+12800=12000（元）．
答：若经销商一次性付了16800元货款，大圩种植基地可以获得12000元的利润．

点评 本题主要考查了二次函数的应用及待定系数法求一次函数解析式、一元二次方程的解法技能，数形结合和分段讨论是解题关键．