Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+5经过坐标轴上A、B和C三点，连接AC，tanC＝，5OA＝3OB．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点Q在第四象限的抛物线上且横坐标为t，连接BQ交y轴于点E，连接CQ、CB，△BCQ的面积为S，求S与t的函数解析式；

（3）已知点D是抛物线的顶点，连接CQ，DH所在直线是抛物线的对称轴，连接QH，若∠BQC＝45°，HR∥x轴交抛物线于点R，HQ＝HR，求点R的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）S＝t2+t；（3）点R（﹣1，﹣6）．

【解析】

（1）c＝5，OC＝5，tanC＝，则OA＝3，5OA＝3OB，则OB＝5，故点A、B、C的坐标分别为：（3，0）、（﹣5，0）、（0，5），即可求解；

（2）S＝×CE×（xQ﹣xB）＝×（5+t﹣5）×（t﹣5）＝t2+t；

（3）证明△CTE≌△QTJ（AAS），故CE＝QJ＝5m，JN＝JQ﹣QN＝5m﹣3m＝2m，tan∠EQN＝tan∠JCN，即，解得：EN＝m或﹣6m（舍去﹣6m）；CN＝CE+EN＝5m+m＝6m，故点Q（3m，5﹣6m），将点Q的坐标代入抛物线表达式并解得：m＝0（舍去）或，故点Q（4，﹣3），设：HR＝k，则点R（k﹣1，﹣k2+），

QS＝yQ﹣yR＝k2﹣，由勾股定理得：QS2+HS2＝HQ2，即（k2﹣）2+25＝k2，即可求解．

解：（1）由题意知c＝5，

∴OC＝5，

∵tanC＝，

∴OA＝3，

∵5OA＝3OB，

∴OB＝5，

故点A、B、C的坐标分别为：（3，0）、（﹣5，0）、（0，5），

则抛物线表达式为：y＝a（x+5）（x﹣3）＝a（x2+2x﹣15），

即﹣15a＝5，解得：a＝﹣，

故抛物线的表达式为：；

（2）设点Q（t，﹣t2﹣t+5），点B（﹣5，0），

把点B、Q的坐标代入一次函数y＝mx+n并解得：

直线BQ的表达式为：y＝﹣（t﹣3）（x+5），

故点E（0，﹣t+5），

S＝×CE×（xQ﹣xB）＝×（5+t﹣5）×（t+5）＝t2+t；

（3）过点Q作QJ∥x轴交y轴于点N，交对称轴于点L，过点C作CT⊥BQ于点T，

延长CT交QJ于点J，过点Q作y轴的平行线交x轴于点K，交HR于点S，

则OKQN为矩形，OK＝QN＝t，

由（2）知，CE＝t，故QN：CE＝3：5，

设QN＝3m，则CE＝5m，

∵∠BQC＝45°，故CT＝QT，

∠EQN＝90°﹣∠NEQ＝90°﹣∠CET＝∠TCE＝∠JCN，

故△CTE≌△QTJ（AAS），

故CE＝QJ＝5m，JN＝JQ﹣QN＝5m﹣3m＝2m，

tan∠EQN＝tan∠JCN，即

解得：EN＝m或﹣6m（舍去﹣6m）；

CN＝CE+EN＝5m+m＝6m，故点Q（3m，5﹣6m），

将点Q的坐标代入抛物线表达式并解得：m＝0（舍去）或，

故点Q（4，﹣3），

抛物线的顶点D坐标为：（﹣1，），

QL＝4+1＝5＝HS，

设：HR＝k，则点R（k﹣1，﹣k2+），

QS＝yQ﹣yR＝k2﹣，

由勾股定理得：QS2+HS2＝HQ2，

即（k2﹣）2+25＝k2，

解得：k＝（不合题意值已舍去），

故点R（﹣1，﹣6）．