Question

【题目】如图①，直线与抛物线交于不同的两点、 (点在点的左侧).

（1）直接写出的坐标 ； (用的代数式表示)

（2）设抛物线的顶点为，对称轴与直线的交点为，连结、，若S△NDC=3×S△MDC，求抛物线的解析式;

（3）如图②，在(2)的条件下，设该抛物线与轴交于、两点，点为直线下方抛物线上一动点，连接、，设直线交线段于点，△MPQ的面积为，△MAQ的面积为，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（b+2，2b+1）（2）见解析

【解析】

（1）构建方程组确定解的坐标即可；
（2）如图①中，作ME⊥对称轴l于E，NF⊥l于F．又S△MDC=S△NDC，可得ME=FN，构建方程即可解决问题；

（3）如图②中，作AH⊥MN于H，PK⊥MN于K，设直线MN交x轴于G，连接PG、OP，设P（m，m2-2m-3），由==，因为AH为定值，所以PK最大时，的值最大，此时△PGM的面积最大，构建二次函数求出点P坐标，想办法求出AH、PK即可解决问题.

解：（1）由，解得或，

∵点M（0，-3），

∴N（b+2，2b+1）．

故答案为（b+2，2b+1）．

（2）如图①中，作ME⊥对称轴l于E，NF⊥l于F．

∵抛物线的对称轴x=，

又∵S△MDC=S△NDC，

∴ME=FN，

=×（b+2-），

解得b=2，

∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3．

（3）如图②中，作AH⊥MN于H，PK⊥MN于K，设直线MN交x轴于G，连接PG、OP，设P（m，m2-2m-3）

∵ ==,

∵AH为定值，

∴PK最大时，的值最大，此时△PGM的面积最大，

∵M（0，-3），N（4，5），

∴直线MN的解析式为y=2x-3，

∴G（，0），

∴S△PGM=S△POM+S△POG-S△MOG=×3×m+××（-m2+2m+3）-×3×=-（m-2）2+3，

∵-＜0，

∴m=2时，△PGM的面积最大，此时P（2，-3），

∵AH⊥MN，A（-1，0）

∴直线AH的解析式为y=-x-，

由 解得，可得H（1，-1），

∴AH==，

∵PK⊥MN，

∴直线PK的解析式为y=-x-2，

由解得，可得K（，-），

∴PK==，

∴的最大值===.