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    已知⊙O的直径AB=10，有一动点C从A点沿圆周顺时针向点B运动，若点D为弦AC所对弧的三等分点，过点D作DE⊥AB于E，直线AC交直线DB于G，点C、D都不与直径AB两端点重合，
    （1）如图，若
    AD
    =
    1
    3
    ADC
    =45°时，①求劣弧AD的长；②求DE的长；③求△BCG的面积；
    （2）在点C的运动过程中是否存在以G、C、B为顶点的三角形和△ABC相似？若有请画出相应状态图，并求出相应线段EB的长；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）①连接OD，由
    AD
    =
    1
    3
    ADC
    =45°得到∠AOD=45°，然后根据弧长公式计算弧AD的长度；
    ②由DE⊥AB，易得△ODE为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得到DE=
    		2
    2
    OD=
    5
    		2
    2
    ；
    ③在Rt△BDE中，根据勾股定理计算出DE=
    		DE2+BE2
    =5
    		2+
    		2
    ，由AB为⊙O的直径，根据圆周角定理得∠C=90°，易弧BC的度数是45°，弧CD的度数是90°，则∠CBD=45°，则△CBG为等腰直角三角形；接着证明Rt△ABC∽Rt△BDE，利用相似计算出BC=
    5
    		2
    		2+
    		2
    ，然后根据△BCG的面积=
    1
    2
    BC2进行计算；
    （2）当弧DC=弧BC时，∠BAC=∠DBC，即可得到Rt△CBG∽Rt△CAB；由点D为弦AC所对弧的三等分点，则∠BAC=∠DBC=2∠ABD，易得∠ABD=18°，连接AD，根据AB为直径得到∠ADB=90°，在Rt△ABD中，AB=10，∠ABD=18°，根据余弦的定义得BD=10cos18°，在Rt△DEB中，根据正弦的定义得DE=BDsin18°，所以DE=10cos18°•sin18°．
    解答：解：（1）①连接OD，如图，
    ∵
    AD
    =
    1
    3
    ADC
    =45°，
    ∴∠AOD=45°，
    ∵AB=10，
    ∴OA=OD=5，
    ∴弧AD的长度=
    45π•5
    180
    =
    5
    4
    π；
    ②∵DE⊥AB，
    ∴∠DEO=90°，
    ∵∠DOA=45°，
    ∴△ODE为等腰直角三角形，
    ∴DE=
    		2
    2
    OD=
    		2
    2
    ×5=
    5
    		2
    2
    ；
    ③在Rt△BDE中，DE=
    5
    		2
    2
    ，BE=OB+OE=5+
    5
    		2
    2
    ，
    ∴DE=
    		DE2+BE2
    =5
    		2+
    		2
    ，
    ∵AB为⊙O的直径，
    ∴∠C=90°，
    ∵
    AD
    =
    1
    3
    ADC
    =45°，
    ∴弧BC的度数是180°-45°×3=45°，弧CD的度数是2×45°=90°，
    ∴∠CBD=45°，
    ∴∠CGB=∠B=45°，
    ∴△CBG为等腰直角三角形；
    ∵
    AD
    和
    BC
    的度数都为45°，
    ∴∠ABD=∠BAC，
    ∴Rt△ABC∽Rt△BDE，
    ∴
    BC
    DE
    =
    AB
    DE
    ，即
    BC
    5
    		2
    2
    =
    10
    5
    		2+
    		2
    ，
    ∴BC=
    5
    		2
    		2+
    		2
    ，
    ∴△BCG的面积=
    1
    2
    BC2=
    1
    2
    ×（
    5
    		2
    		2+
    		2
    ）2=
    50-25
    		2
    2
    ；

    （2）存在．
    当弧DC=弧BC时，∠BAC=∠DBC，
    ∴Rt△CBG∽Rt△CAB，
    ∵点D为弦AC所对弧的三等分点，
    ∴∠BAC=∠DBC=2∠ABD，
    设∠ABD=α，则∠BAC=∠DBC=2α，
    ∴α+2α+2α=90°，解得α=18°，
    ∴∠ABD=18°，
    连接AD，
    ∵AB为直径，
    ∴∠ADB=90°，
    在Rt△ABD中，AB=10，∠ABD=18°，
    ∴BD=10cos18°，
    在Rt△DEB中，DE=BDsin18°，
    ∴DE=10cos18°•sin18°．
    点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理及其推论、等腰直角三角形的判定与性质；会运用相似比、勾股定理和锐角三角形函数的定义进行几何计算．
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    		2
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    15°或105°（只答对一个给1分）
    ．

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