Question

（2013•闸北区二模）已知：如图，△ABC中，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，

AF

FB

=

BD

DC

=

AE

EC

：
（1）若BE平分∠ABC，试说明四边形DBFE的形状，并加以证明；
（2）若点G为△ABC的重心，且△BCG与△EFG的面积之和为20，求△BCG的面积．

Answer 1

分析：（1）由△ABC中，

AF

FB

=

BD

DC

=

AE

EC

，可得FE∥BC，DE∥AB，即可判定四边形DBFE是平行四边形，又由BE平分∠ABC，可证得BF=EF，即可判定四边形DBFE是菱形；
（2）由FE∥BC，可得△EFG∽△BCG，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得

S△EFG

S△BCG

=（

FG

GC

）²，然后由点G为△ABC的重心，可得FG：GC=1：2，可得S_△BCG=4S_△EFG．又由△BCG与△EFG的面积之和为20，即可求得答案．

解答：解：（1）四边形DBFE是菱形．…（1分）
证明：∵△ABC中，

AF

FB

=

BD

DC

=

AE

EC

，
∴FE∥BC，DE∥AB，…（2分）
∴四边形DBFE是平行四边形，…（1分）
又∵BE平分∠ABC，
∴∠FBE=∠DBE，
∵FE∥BC，
∴∠FEB=∠DBE，…（1分）
∴∠FBE=∠FEB，…（1分）
∴BF=EF，…（1分）
∴四边形DBFE是菱形；

（2）∵FE∥BC，
∴△EFG∽△BCG，…（1分）
∴

S△EFG

S△BCG

=（

FG

GC

）²，…（1分）
∵点G为△ABC的重心，
∴

FG

GC

=

1

2

，…（1分）
∴

S△EFG

S△BCG

=（

1

2

）²=

1

4

，
∴S_△BCG=4S_△EFG．…（1分）
∵S_△EFG+S_△BCG=20，
∴S_△BCG=16．…（1分）

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、三角形重心的性质以及菱形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．