Question

【题目】在平面直角坐标系中，⊙M过坐标原点O且分别交x轴、y轴于点A，B，点C为第一象限内⊙M上一点．若点A（6，0），∠BCO＝30°．

（1）求点B的坐标；

（2）若点D的坐标为（-2，0），试猜想直线DB与⊙M的位置关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）B(0，2)；（2）DB与⊙M相切，理由见解析．

【解析】

（1）连接AB，则AB为⊙M的直径，由圆周角定理可知∠BAO=30°，求出OB的长即可得到点B的坐标；

（2）分别求出DB，DA，AB的长，运用勾股定理逆定理证明△ABD为直角三角形即可．

(1) 如图，连接AB，

∵∠BAO＝∠BCO＝30°，∠AOB＝90°，

∴AB为⊙M的直径，

∵A（6，0），

∴OA＝6．

∵tan∠BAO＝，

∴OB＝2，

∴B(0，2)；

（2）DB与⊙M相切，理由如下：

∵D（-2，0），OD＝2，

∴DB2=OB2+OD2=(2)2+22=12+4=16，

AD2=(OA+OD)2=(6+2)2=64

AB2=OA2+OB2=62+(2)2=48，

∴DB2+AB2=AD2，

∴△ABD为直角三角形，且∠ABD＝90°，

即DB与⊙M相切．