Question

已知点A和点B的坐标分别是（3，0）和（0，4），点C的坐标为（-2，0），点P是直线AB上一动点，直线CP与y轴交于点D．
（1）当CP⊥AB时，求CD的长；
（2）当点P沿直线AB移动时，以点P为圆心，以

AB

2

的长为半径作⊙P，过点C作⊙P的两条切线，切点分别是E和F．
①若⊙P与x轴相切时，求CE的长；
②当点P在直线AB上运动时，求四边形CEPF的面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据点A、B、C的坐标求出OA、OB、OC的长度，再根据勾股定理求出AB的长度，然后求出△COD和△BOA相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解；
（2）①先求出直线AB的解析式，然后设出点P的坐标，根据切线的定义可得点P的纵坐标的长度等于⊙P的半径，然后求解得到x的值，即可得解；
②根据点P的坐标，利用两点间的距离公式求出PC的长度，再利用勾股定理表示出CE，然后根据切线长定理可得四边形CEPF的面积等于△PCE的面积的2倍，然后根据三角形的面积公式列式并整理，再根据二次函数的最值问题解答．

解答：解：（1）∵A（3，0），B（0，4），C（-2，0），
∴OA=3，OB=4，OC=2，
根据勾股定理，AB=

OA2+OB2

=

32+42

=5，
∵CP⊥AB，
∴∠DCO+∠BAO=90°，
又∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠DCO=∠ABO，
又∠COD=∠AOB=90°，
∴△COD∽△BOA，
∴

CD

AB

=

CO

BO

，
即

CD

5

=

2

4

，
解得CD=

5

2

；

（2）①由A（3，0），B（0，4）可求直线AB的解析式为y=-

4

3

x+4，
设点P的坐标为（x，-

4

3

x+4），
∵⊙P与x轴相切，
∴|-

4

3

x+4|=

AB

2

=

5

2

，
即-

4

3

x+4=

5

2

或-

4

3

x+4=-

5

2

，
解得x=

9

8

或x=

39

8

，
所以，CE=

9

8

-（-2）=

9

8

+2=

25

8

，
或CE=

39

8

-（-2）=

39

8

+2=

55

8

；

②∵点P（x，-

4

3

x+4），C（-2，0），
∴PC=

(x+2)2+(- 4 3 x+4-0)2

，
∵⊙P的半径为

AB

2

=

5

2

，
∴根据勾股定理得，CE=

PC2-PE2

=

(x+2)2+(- 4 3 x+4)2-( 5 2 )2

=

( 5 3 x-2)2+ 39 4

，
根据切线长定理，△PCE与△PCF关于直线PC成轴对称，
∴四边形CEPF的面积=2S_△PCE=2×

1

2

•

( 5 3 x-2)2+ 39 4

×

5

2

=

5

2

( 5 3 x-2)2+ 39 4

，
当

5

3

x-2=0，即x=

6

5

时，四边形CEPF的面积有最小值，最小值为

5

2

×

39 4

=

5 39

4

．

点评：本题综合考查了一次函数的问题，主要涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，切线长定理，以及两点间的距离公式，二次函数的最值问题，利用直线解析式设出点P的坐标是解题的关键，本题运算量较大，比较复杂，计算时要仔细认真．