【题目】(1)如图1,是
上一动点,
是
外一点,在图中作出
最小时的点
.
(2)如图2,中,
,
,
,以点
为圆心的
的半径是
,
是
上一动点,在线段
上确定点
的位置,使
的长最小,并求出其最小值.
(3)如图3,矩形中,
,
,以
为圆心,
为半径作
,
为
上一动点,连接
,以
为直角边作
,
,
,试探究四边形
的面积是否有最大或最小值,如果有,请求出最大或最小值,否则,请说明理由.
【答案】(1)见详解;(2)过做
于
,
,交
于
,这时
最短,最短为
;(3)有最大值和最小值,四边形
面积最大值是
,最小值是
.
【解析】
(1)根据两点之间线段最短,连接OP与圆交于一点,这点便是要求的A点;
(2)如图,过做
于
,
,交
于
,这时
最短,分别在线段
,
上任取点
,点
,连接
,
,根据垂线段最短,可得
最短.然后利用勾股定理和面积相等求得PQ和BP的值;
(3)如图取AB的中点G,连接FG,FC,GC,由△FAG∽△EAD,推出FG: DE=AF: AE=1: 3,因为DE=3,可得FG=1,推出点F的运动轨迹是以G为圆心1为半径的圆,当GH⊥AC于H交⊙G于F ,GH的反向延长线于⊙G交于F,再利用(2)的结论可知,HF或HF为△AFC的AC边上的高,HF最小,HF最大,由此可得△ACF面积最小,推出四边形的面积最小,通过求解得出最小面积;同理可得△ACF面积最大,推出四边形
的最大面积,即可解决问题.
(1)连接线段交
于
,点
即为所求;
证明:如图1延长PO交⊙O于点B,显然PB> PA.
如图2,在⊙O上任取一点C(与点A,B不重合) ,连结PC,OC.
∵PO<PC+OC,
且PO= PA+OA,0A=0C, ∴ PA<PC
∴ PA长是点P与⊙O上各点之间的最短距离.
由此可得:圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差.
(2)过做
于
,
,交
于
,这时
最短.
理由:如图3,分别在线段,
上任取点
,点
,连接
,
,由于
,根据垂线段最短,
,
,又
,所以
,即
最短.
在中
,
,
,
,这时
.
当在点
左侧
米处时,
长最短是
.
(3)的面积有最大和最小值.
如图4,取的中点
,连接
,
.
,
,
,
,
,又
,
,
,
,
,
,
,
,
,
点
在以
为圆心
为半径的圆上运动,
连接,则
的面积
过做
于
,交
于
,
反向延长线交
于
,
①当在
时,
面积最小.理由:由(2)知,当
在
时,
最短,这时
的边
上的高最小,所以
面积有最小值,
在中
,
,
在中
,
,
面积有最小值是
;
四边形
面积最小值是
;
②当在
时,
最大理由:在
上任取异于点
的点
,作
于
,作
于
,连接
,则四边形
是矩形,
,
在中,
,
,又
,
,即
所以
是
的边
上的最大高,所以面积有最大值,
面积有最大值是
;
四边形
面积最大值是
综上所述,四边形面积最大值是
,最小值是
.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知点C是以AB为直径的⊙O上一点,CH⊥AB于点H,过点B作⊙O的切线交直线AC于点D,点E为CH的中点,连接AE并延长交BD于点F,连接CF.
(1)求证:CF=BF;
(2)求证:CF是⊙O的切线;
(3)若FB=FE=3,求⊙O的半径.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】数学学习小组“陆月辉煌”最近正在进行几何图形组合问题的研究.认真研读以下四个片段,并回答问题.
(片断一)小陆说:将一块足够大的等腰直角三角板置于一个正方形中,直角顶点与对角线交点O重合,在转动三角板的过程中我发现某些线段之间存在确定的数量关系.
如图(1),若三角板两条直角边的外沿分别交正方形的边AB、BC于点M、N,则①OM+ON=MB+NB;②.
请你判断他的猜想是否正确?并证明你认为正确的猜想.
(片断二)小月说:将三角板中一个45°角的顶点和正方形的一个顶点重合放置,使得这个角的两条边与正方形的一组邻边有交点.
如图(2),若以A为顶点的45°角的两边分别交正方形的边BC、CD于点M、N,交对角线BD于点E、F.我发现:BE2+DE2=2AE2,只要准确旋转图(2)中的一个三角形就能证明这个结论.
请你写出小月所说的具体的旋转方式:______________________.
(片断三)小辉说:将三角板的一个45°角放置在正方形的外部,同时角的两边恰好经过正方形两个相邻的顶点.
如图(3),设顶点为E的45°角位于正方形的边AD上方,这个角的两边分别经过点B、C,连接EA,ED.那么线段EB、EC、ED也存在确定的数量关系:(EB+ED)2=2EC2.
请你证明这个结论.
(片断四)小煌说:在图(2)中,作一个过点A、E、F的圆,交正方形的边AB、AD于点G、H,如图(4)所示.你知道线段DH、HG、GB三者之间的关系吗?请直接写出结论:________________.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,是☉
的直径,
为☉
上一点,
是半径
上一动点(不与
重合),过点
作射线
,分别交弦
,
于
两点,过点
的切线交射线
于点
.
(1)求证:.
(2)当是
的中点时,
①若,判断以
为顶点的四边形是什么特殊四边形,并说明理由;
②若,且
,则
_________.
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【题目】开展阳光体育运动,掌握运动技能,增强身体素质.某校初二年级五月开展了周末一小时兴趣锻炼活动,项目包括:篮球技能、排球技能、足球技能、立定跳远、50米跑,每个同学只选一项参与.王老师为了解学生对各种项目的参与情况,随机调查了部分学生参与哪一类项目(被调查的学生没有不参与的),并将调查结果制成了如下的两个统计图(不完整)请你根据图中所提供的信息,完成下列问题:
(1)求本次调查的学生人数;
(2)请将两个统计图补充完整,并求出足球项目在扇形统计图中所占圆心角的度数;
(3)若该中学初二年级有名学生,请估计该校初二学生参与球类项目的人数.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】为了提高学生的阅读能力,我市某校开展了“读好书,助成长”的活动,并计划购置一批图书,购书前,对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查,并将调查数据绘制成两幅不完整的统计图,如图所示,请根据统计图回答下列问题:
(1)本次调查共抽取了 名学生,两幅统计图中的m= ,n= .
(2)已知该校共有3600名学生,请你估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人?
(3)学校将举办读书知识竞赛,九年级1班要在本班3名优胜者(2男1女)中随机选送2人参赛,请用列表或画树状图的方法求被选送的两名参赛者为一男一女的概率.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,将直角三角板的直角边
放在半圆
的直径
上,直角顶点
与直径端点
重合,已知
,且
的直角边
与半圆
的半径
长均为2.现将直角三角板
沿直径
的方向向右平移,将三角板
平移后的三角形记为
.
(1)如图,当平移到斜边与半圆相切时,试求
的长度(结果保留
);
(2)设平移距离为,在直角三角形
平移过程中,折线
(包括端点)与半圆弧共有3个交点时,求
的取值范围.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,△ABD是⊙O的内接三角形,E是弦BD的中点,点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A,连接OE延长与圆相交于点F,与BC相交于点C.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为6,BC=8,求弦BD的长.
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