Question

3．如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，DE⊥AB，DC=2，AC=$\sqrt{19}$，∠DAE=60°，则DE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 作CF⊥AB，设AE=x，根据勾股定理求出DE，在Rt△ACF中，根据勾股定理列出方程，解方程求出x的值，得到答案．

解答 解：作CF⊥AB于F，
设AE=x，
∵∠DAE=60°，
∴∠ADE=30°，
∴AD=2x，由勾股定理得，DE=$\sqrt{3}$x，
由题意得，四边形DEFC是矩形，
∴CF=DE=$\sqrt{3}$x，EF=CD=2，AF=x+2，
在Rt△ACF中，AC²=CF²+AF²，
即19=（$\sqrt{3}$x）²+（x+2）²，
解得x₁=$\frac{3}{2}$，x₂=-$\frac{5}{2}$（舍去），
DE=$\sqrt{3}$x=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查的是梯形的性质，灵活运用梯形的性质、直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键．