Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）若P为线段BD上的一个动点，点P的横坐标为m，试用含m的代数式表示点P的纵坐标；
（3）过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标；
（4）若点F是第一象限抛物线上的一个动点，过点F作FQ∥AC交x轴于点Q．当点F的坐标为

（2，3）

时，四边形FQAC是平行四边形；当点F的坐标为

（

11

4

，

15

16

）

时，四边形FQAC是等腰梯形（直接写出结果，不写求解过程）．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后化为顶点式求出D点坐标；
（2）利用待定系数法求出直线的解析式，然后将点P的横坐标m代入，即可用含m的代数式表示点P的纵坐标；
（3）本问关键是求出四边形PMAC面积的表达式，这个表达式是关于P点横坐标的二次函数，再利用二次函数求极值的方法求出面积的最大值，并求出P点坐标；
（4）四边形PQAC为平行四边形或等腰梯形时，需要结合几何图形的性质求出P点坐标：
①当四边形PQAC为平行四边形时，如答图1所示．构造全等三角形求出P点的纵坐标，再利用P点与C点关于对称轴x=1对称的特点，求出P点的横坐标；
②当四边形PQAC为平行四边形时，如答图2所示．利用等腰梯形、平行四边形、全等三角形以及线段之间的三角函数关系，求出P点坐标．注意三角函数关系部分，也可以用相似三角形解决．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），
∴可设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3）
又∵抛物线 与y轴交于点C（0，3），
∴3=a（0+1）（0-3）
∴a=-1
∴y=-（x+1）（x-3）
即抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3
∴y=-（x-1）²+4
∴抛物线顶点D的坐标为（1，4）；

（2）设直线BD的解析式为：y=kx+b
由B（3，0），D（1，4）得

3k+b=0 k+b=4

解得

k=-2 b=6

．
∴直线BD的解析式为y=-2x+6，
∵点P在直线PD上，点P的横坐标为m
∴点P的纵坐标为：-2m+6；

（3）由（1），（2）知：
OA=1，OC=3，OM=m，PM=-2m+6，
∴S_{四边形PMAC}=S_△OAC+S_梯形OMPC
=

1

2

×1×3+

1

2

×(3-2m+6)×m
=-m2+

9

2

m+

3

2

=-(m-

9

4

)2+

105

16

，
∵1＜

9

4

＜3，
∴当m=

9

4

时，四边形PMAC的面积取得最大值为

105

16

，
此时点P的坐标为（

9

4

，

3

2

）；
                 
（4）①四边形PQAC是平行四边形，如右图①所示．
过点P作PE⊥x轴于点E，易证△AOC≌△QEP，
∴y_P=PE=CO=3．
又∵CP∥x轴，
则点C（0，3）与点P关于对称轴x=1对称，
∴x_P=2．
∴P（2，3）．
②四边形PQAC是等腰梯形，如右图②所示．
设P（m，n），P点在抛物线上，则有n=-m²+2m+3．
过P点作PE⊥x轴于点E，则PE=n．
在Rt△OAC中，OA=1，OC=3，
∴AC=

10

，tan∠CAO=3，cos∠CAO=

10

10

；
∵PQ∥CA，
∴tan∠PQE=

PE

QE

=tan∠CAO=3，
∴QE=

1

3

n，PQ=

QE2+PE2

=

10

3

n．
过点Q作QM∥PC，交AC于点M，则四边形PCMQ为平行四边形，△QAM为等腰三角形．再过点Q作QN⊥AC于点N．
则有：CM=PQ=

10

3

n，AN=

1

2

AM=

1

2

（AC-CM）=

10

2

（1-

1

3

n），
AQ=

AN

cos∠CAO

=

10 2 (1- 1 3 n)

10 10

=5（1-

1

3

n）．
又∵AQ=AO+OQ=1+（m-

1

3

n），
∴5（1-

1

3

n）=1+（m-

1

3

n），化简得：n=3-

3

4

m；
又∵P点在抛物线上，有n=-m²+2m+3，
∴-m²+2m+3=3-

3

4

m，化简得：m²-

11

4

m=0，
解得m₁=0（舍去），m₂=

11

4

，
∴m=

11

4

，n=3-

3

4

m=

15

16

，
∴P（

11

4

，

15

16

）．
故答案为：（2，3）；（

11

4

，

15

16

）．

点评：本题综合考查了诸多重要的知识点，包括：二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数的极值、图形面积的求法、等腰梯形、平行四边形、等腰三角形、三角函数（或相似三角形）等，涉及考点众多，有一定的难度．本题难点在于第（4）问等腰梯形的情形，注意该种情形下求点的坐标的方法．