Question

【题目】已知抛物线C1：y＝ax2+bx+c向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛物线C2：y＝x2．

（1）直接写出抛物线C1的解析式　 　；

（2）如图1，已知抛物线C1与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，点P（，t）在抛物线C1上，QB⊥PB交抛物线于点Q．求点Q的坐标；

（3）已知点E，M在抛物线C2上，EM∥x轴，点E在点M的左侧，过点M的直线MD与抛物线C2只有一个公共点（MD与y轴不平行），直线DE与抛物线交于另一点N．若线段NE＝DE，设点M，N的横坐标分别为m，n，直接写出m和n的数量关系（用含m的式子表示n）为　 　．

Answer 1

【答案】（1）y＝（x﹣1）2﹣4；（2）Q（﹣，）；（3）n＝（1±2）m

【解析】

（1）逆向考虑，抛物线C2平移到抛物线C1，即可求抛物线C1的解析式；

（2）求出A、B、P的点的坐标，设Q（t，t2-2t-3），过点P作PM⊥x轴交于点M，过点Q作QN⊥x轴交于点N，可以证明△BNQ∽△QMP，由相似可得=，求出t即可；

（3）求出M、N、E点坐标，设MD的解析式为y=kx+b，将点M代入解析式可得y=kx+m2-km，再由直线MD与抛物线y=x2只有一个交点，联立方程kx+m2-km=x2，由判别式△=0可得k=2m，则直线MD为y=2mx-m2，在求出D点坐标代入MD的解析式即可求解．

（1）由已知可知，抛物线C2：y＝x2向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到抛物线C1：y＝ax2+bx+c，

∴抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4，

故答案为y＝（x﹣1）2﹣4；

（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，

令y＝0，（x﹣1）2﹣4＝0，

解得x＝3或x＝﹣1，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

∵点P（，t）在抛物线C1上，

∴t＝（﹣1）2﹣4，解得t＝﹣，

∴P（，﹣），

设Q（t，t2﹣2t﹣3），

过点P作PM⊥x轴交于点M，过点Q作QN⊥x轴交于点N，

∵BQ⊥BP，

∴∠QBN+∠MBP＝∠QBN+∠MQN＝90°，

∴∠BQN＝∠PBM，

∴△BNQ∽△QMP，

∴＝，

∴＝，

∴t＝﹣或t＝3，

∵Q点在第二象限，

∴t＝﹣，

∴Q（﹣，）；

（3）∵点M与N在y＝x2上，

∴M（m，m2），N（n，n2）

∵EM∥x轴，

∴E（﹣m，m2），

设MD的解析式为y＝kx+b，

∴m2＝km+b，

∴b＝m2﹣km，

∴y＝kx+m2﹣km，

∵直线MD与抛物线y＝x2只有一个交点，

∴kx+m2﹣km＝x2，

∴△＝k2﹣4（m2+km）＝0，

∴k＝2m，

∴直线MD的解析式为y＝2mx﹣m2，

∵NE＝DE，

∴D（﹣2m﹣n，2m2﹣n2），

∴2m2﹣n2＝2m（﹣2m﹣n）﹣m2，

整理得，n2﹣2mn﹣7m2＝0，

∴n＝（1±2）m，

故答案为n＝（1±2）m．