Question

已知抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B（1，0），C（5，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；
（3）设M为OA中点，x轴上有一点E，在抛物线对称轴上有一点F．若S=ME+EF+FA，则求当S最小时，E、F两点的坐标，及此时S的值．

Answer 1

解：（1）根据题意，设抛物线的解析式为：y=a（x-5）（x-1），
则有：3=a（0-5）（0-1），
a=；
∴抛物线的解析式为：y=（x-5）（x-1）=x²-x+3．

（2）依题意可得OA的三等分点分别为（0，1），（0，2）；
设直线CD的解析式为y=kx+b；
当点D的坐标为（0，1）时，直线CD的解析式为y=-x+1；
当点D的坐标为（0，2）时，直线CD的解析式为y=-x+2．

（3）如图，由题意，可得M（0，）；
点M关于x轴的对称点为M′（0，-），
点A关于抛物线对称轴x=3的对称点为A′（6，3）；
连接A′M′；
根据轴对称性及两点间线段最短可知，A′M′的长就是所求的S最小值；
所以A′M′与x轴的交点为所求E点，与直线x=3的交点为所求F点；
可求得直线A′M′的解析式为y=x-；
可得E点坐标为（2，0），F点坐标为（3，）；
由勾股定理可求出A′M′=；
所以此时S的值最小，且S=ME+EF+FA=．
分析：（1）将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组求出待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式．
（2）已知A（0，3），那么OA的三等分点应该是（0，1）或（0，2），而C点坐标已知，分两种情况，利用待定系数法求解即可．
（3）若ME+EF+FA的值最小，可取A关于抛物线对称轴的对称点A′，M关于x轴的对称点M′，若连接A′M′，那么与x轴、抛物线对称轴的交点必为所求的E、F点，可先求出直线A′M′的解析式，进而可求出E、F的坐标，而A′、M′的坐标已求得，即可得到A′M′，即此时S的最小值．
点评：此题主要考查了函数解析式的确定、轴对称的性质、两点间线段最短等知识点的综合应用，（3）题中，根据轴对称和两点间线段最短等相关知识确定出E、F点的位置，是解决问题的关键．