Question

如图所示，在△ABC，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=4cm，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使C′、A、B在同一直线上．
（1）求点B旋转到点B′时所经过的路线长；
（2）求在旋转过程中线段BC所扫过的面积．

Answer 1

分析：（1）根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC=60°，然后求出旋转角的度数，再根据弧长公式列式进行计算即可得解；
（2）先根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC的长度，再根据扫过的面积等于扇形BAB′的面积加上△AB′C′的面积减去扇形CAC′的面积与△ABC的面积的和，由旋转的旋转可知△AB′C′与△ABC的面积相等，从而得到线段BC扫过的面积等于两个扇形的面积的差，然后列式进行计算即可得解．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠BAC=90°-30°=60°，
∵C′、A、B在同一直线上，
∴旋转角∠CAC′=180°-60=120°，
∴点B旋转到点B′时所经过的路线长=

120•π•4

180

=

8

3

π；

（2）∵∠ABC=30°，AB=4cm，
∴AC=

1

2

AB=

1

2

×4=2cm，
线段BC所扫过的面积=S_扇形BAB′+S_△AB′C′-S_扇形CAC′-S_△ABC，
=S_扇形BAB′-S_扇形CAC，
=

120•π•42

360

-

120•π•22

360

，
=4π．

点评：本题考查了旋转的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，以及弧长的计算，扇形的面积的计算，（2）推出扫过的面积等于两个扇形的面积的差是解题的关键．