Question

在四边形ABCD中，E是AD上一点，且BE∥CD，AB∥CE，△ABE的面积记为S₁，△BEC的面积记为S₂，△DEC的面积记为S₃．
（1）试判断△ABE与△ECD是否相似，并说明理由．
（2）当S₁=6，S₃=3时，求S₂的值．
（3）猜想S₁，S₂，S₃之间的等量关系．

Answer 1

分析：（1）通过BE∥CD，AB∥CE证得角相等，从而得到△ABE∽△ECD；
（2）先根据相似三角形的对应边成比例求出

EB

DC

的值，再根据△BEC和△DEC边BE和DC上的高相等即可求出S₂的值；
（3）由（2）中所求得S₂的值及已知S₁，S₃的值，找出等量关系即可．

解答：解：（1）∵BE∥CD，∴∠BEC=∠DCE，
∵AB∥CE，∴∠BEC=∠ABE，∠A=∠DEC，
∴∠DCE=∠ABE，
∴△ABE∽△ECD；

（2）∵△ABE∽△ECD，S₁=6，S₃=3，
∴

EB

DC

=

2

，
∵BE∥CD，
∴△BEC和△DEC边BE和DC上的高相等，
∴

S2

S3

=

BE

DC

，即

S 2

3

=

2

，所以S2=3

2

；

（3）∵由（2）可知，S₂=3

2

，
∴（S₂）²=（3

2

）²=18，
S₁•S₃=6×3=18，
∴S₂²=S₁•S₃．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，解答此题的关键是熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方这一结论．