Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），点M（m，n）是抛物线上一动点，位于对称轴的左侧，并且不在坐标轴上，过点M作x轴的平行线交y轴于点Q，交抛物线于另一点E，直线BM交y轴于点F．
（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；
（2）当S_△MFQ：S_△MEB=1：3时，求点M的坐标．

Answer 1

（1）y=﹣x²+x+2，顶点坐标为（，）；（2）（1，3）或（﹣12，﹣88）．

试题分析：（1）把点A、B、C的坐标代入抛物线解析式得到关于a、b、c的三元一次方程组，然后求解即可，再把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标；
（2）根据点M的坐标表示出点Q、E的坐标，再设直线BM的解析式为y=kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求出一次函数解析式，再求出点F的坐标，然后求出MQ、FQ、ME，再表示出△MFQ和△MEB的面积，然后列出方程并根据m的取值范围整理并求解得到m的值，再根据点M在抛物线上求出n的值，然后写出点M的坐标即可．
试题解析：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），
∴，
解得，
∴y=﹣x²+x+2，
∵y=﹣x²+x+2=﹣（x²﹣3x+）++2=﹣（x﹣）²+，
∴顶点坐标为（，）；
（2）∵M（m，n），
∴Q（0，n），E（3﹣m，n），
设直线BM的解析式为y=kx+b（k≠0），
把B（4，0），M（m，n）代入得，
解得，
∴，
令x=0，则y=，
∴点F的坐标为（0，），
∴MQ=|m|，FQ=|﹣n|=||，ME=|3﹣m﹣m|=|3﹣2m|，
∴S_△MFQ=MQ•FQ=|m|•||=||，
S_△MEB=ME•|n|=•|3﹣2m|•|n|，
∵S_△MFQ：S_△MEB=1：3，
∴||×3=•|3﹣2m|•|n|，
即||=|3﹣2m|，
∵点M（m，n）在对称轴左侧，
∴m＜，
∴=3﹣2m，
整理得，m²+11m﹣12=0，
解得m₁=1，m₂=﹣12，
当m₁=1时，n₁=﹣×12+×1+2=3，
当m₂=﹣12时，n₂=﹣×（﹣12）²+×（﹣12）+2=﹣88，
∴点M的坐标为（1，3）或（﹣12，﹣88）．