Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c经过A（﹣3.0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

（1）抛物线的解析式为y=﹣x²+x+4；
（2）线段PQ的最大值为；
（3）符合要求的点M的坐标为（，9）和（，﹣11）．

试题分析：（1）如图1，易证BC=AC，从而得到点B的坐标，然后运用待定系数法求出二次函数的解析式；
（2）如图2，运用待定系数法求出直线AB的解析式．设点P的横坐标为t，从而可以用t的代数式表示出PQ的长，然后利用二次函数的最值性质就可解决问题；
（3）由于AB为直角边，分别以∠BAM=90°（如图3）和∠ABM=90°（如图4）进行讨论，通过三角形相似建立等量关系，就可以求出点M的坐标．
试题解析：（1）如图1，

∵A（﹣3，0），C（0，4），
∴OA=3，OC=4．
∵∠AOC=90°，
∴AC=5．
∵BC∥AO，AB平分∠CAO，
∴∠CBA=∠BAO=∠CAB．
∴BC=AC．
∴BC=5．
∵BC∥AO，BC=5，OC=4，
∴点B的坐标为（5，4）．
∵A（﹣3.0）、C（0，4）、B（5，4）在抛物线y=ax²+bx+c上，
∴
解得：
∴抛物线的解析式为y=﹣x²+x+4；
（2）如图2，

设直线AB的解析式为y=mx+n，
∵A（﹣3.0）、B（5，4）在直线AB上，
∴
解得：
∴直线AB的解析式为y=x+．
设点P的横坐标为t（﹣3≤t≤5），则点Q的横坐标也为t．
∴y_P=t+，y_Q=﹣t²+t+4．
∴PQ=y_Q﹣y_P=﹣t²+t+4﹣（t+）
=﹣t²+t+4﹣t﹣
=﹣t²++
=﹣（t²﹣2t﹣15）
=﹣ [（t﹣1）²﹣16]
=﹣（t﹣1）²+．
∵﹣＜0，﹣3≤1≤5，
∴当t=1时，PQ取到最大值，最大值为．
∴线段PQ的最大值为；
（3）①当∠BAM=90°时，如图3所示．

抛物线的对称轴为x=﹣=﹣=．
∴x_H=x_G=x_M=．
∴y_G=×+=．
∴GH=．
∵∠GHA=∠GAM=90°，
∴∠MAH=90°﹣∠GAH=∠AGM．
∵∠AHG=∠MHA=90°，∠MAH=∠AGM，
∴△AHG∽△MHA．
∴．
∴．
解得：MH=11．
∴点M的坐标为（，﹣11）．
②当∠ABM=90°时，如图4所示．

∵∠BDG=90°，BD=5﹣=，DG=4﹣=，
∴BG=．
同理：AG=．
∵∠AGH=∠MGB，∠AHG=∠MBG=90°，
∴△AGH∽△MGB．
∴．
∴．
解得：MG=．
∴MH=MG+GH=+=9．
∴点M的坐标为（，9）．
综上所述：符合要求的点M的坐标为（，9）和（，﹣11）．