【题目】（12分）阅读理解：
如图①，如果四边形ABCD满足AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”．
将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图②所示形状，再展开得到图③，其中CE，CF为折痕，∠BCE=∠ECF=∠FCD，点B′为点B的对应点，点D′为点D的对应点，连接EB′，FD′相交于点O．
简单应用：
（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是 ；
（2）当图③中的∠BCD=120°时，∠AEB′= °；
（3）当图②中的四边形AECF为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有 个（包含四边形ABCD）．
拓展提升：
（4）当图③中的∠BCD=90°时，连接AB′，请探求∠AB′E的度数，并说明理由．
【答案】（1）正方形；（2）80；（3）5；（4）45°．
【解析】试题（1）结合平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和“完美筝形”的定义可以得出结论；
（2）先证∠AEB′=∠BCB′，再算出∠BCE=∠ECF=40°，即可得出结果；
（3）由折叠的性质得出BE=B′E，BC=B′C，∠B=∠CB′E=90°，CD=CD′，FD=FD′，∠D=∠CD′F=90°，即可得出四边形EBCB′、四边形FDCD′是“完美筝形”，由题意得出∠OD′E=∠OB′F=90°，CD′=CB′，由菱形的性质得出AE=AF，CE=CF，再证明△OED′≌△OFB′，得出OD′=OB′，OE=OF，证出∠AEB′=∠AFD′=90°，即可得出四边形CD′OB′、四边形AEOF是“完美筝形”；即可得出结论；
（4）当图③中的∠BCD=90°时，四边形ABCD是正方形，证明A、E、B′、F四点共圆，得到
，由圆周角定理即可得到∠AB′E的度数．
试题解析：（1）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C≠90°，∠B=∠D≠90°，∴AB≠AD，BC≠CD，∴平行四边形不一定为“完美筝形”；
②∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，∴AB≠AD，BC≠CD，∴矩形不一定为“完美筝形”；
③∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C≠90°，∠B=∠D≠90°，∴菱形不一定为“完美筝形”；
④∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，∴正方形一定为“完美筝形”；
∴在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是正方形；故答案为：正方形；
（2）根据题意得：∠B′=∠B=90°，∴在四边形CBEB′中，∠BEB′+∠BCB′=180°，∵∠AEB′+∠BEB′=180°，∴∠AEB′=∠BCB′，∵∠BCE=∠ECF=∠FCD，∠BCD=120°，∴∠BCE=∠ECF=40°，∴∠AEB′=∠BCB′=40°+40°=80°；故答案为：80；
（3）当图②中的四边形AECF为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有5个；理由如下；
根据题意得：BE=B′E，BC=B′C，∠B=∠CB′E=90°，CD=CD′，FD=FD′，∠D=∠CD′F=90°，∴四边形EBCB′、四边形FDCD′是“完美筝形”；
∵四边形ABCD是“完美筝形”，∴AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，∴CD′=CB′，∠CD′O=∠CB′O=90°，∴∠OD′E=∠OB′F=90°，∵四边形AECF为菱形，∴AE=AF，CE=CF，AE∥CF，AF∥CE，∴D′E=B′F，∠AEB′=∠CB′E=90°，∠AFD′=∠CD′F=90°，在△OED′和△OFB′中，∵∠OD′E=∠OB′F，∠EOD′=∠FOB′，D′E=B′F，∴△OED′≌△OFB′（AAS），∴OD′=OB′，OE=OF，∴四边形CD′OB′、四边形AEOF是“完美筝形”；
∴包含四边形ABCD，对应图③中的“完美筝形”有5个；故答案为：5；
（4）当图③中的∠BCD=90°时，如图所示：四边形ABCD是正方形，∴∠A=90°，∵∠EB′F=90°，∴∠A+∠EB′F=180°，∴A、E、B′、F四点共圆，∵AE=AF，∴
，∴∠AB′E=∠AB′F=
∠EB′F=45°．
阅读快车系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】已知如图 1，在△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝AC，点 D 在 AB 上，DE⊥AB交 BC 于 E，点 F 是 AE 的中点
（1） 写出线段 FD 与线段 FC 的关系并证明；
（2） 如图 2，将△BDE 绕点 B 逆时针旋转α（0°＜α＜90°），其它条件不变，线段 FD 与线段 FC 的关系是否变化，写出你的结论并证明；
（3） 将△BDE 绕点 B 逆时针旋转一周，如果 BC＝4，BE＝2
，直接写出线段 BF 的范围．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】居民区内的“广场舞”引起媒体关注，辽宁都市频道为此进行过专访报道．小平想了解本小区居民对“广场舞”的看法，进行了一次抽样调查，把居民对“广场舞”的看法分为四个层次：A．非常赞同；B．赞同但要有时间限制；C．无所谓；D．不赞同．并将调查结果绘制了图1和图2两幅不完整的统计图．
请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）求本次被抽查的居民有多少人？
（2）将图1和图2补充完整；
（3）求图2中“C”层次所在扇形的圆心角的度数；
（4）估计该小区4000名居民中对“广场舞”的看法表示赞同（包括A层次和B层次）的大约有多少人．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用32m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝xm．
(1)若花园的面积为252m2，求x的值；
(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是17m和6m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值．
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【题目】如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．
（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？
（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1？
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【题目】综合与实践--------图形变换中的数学问题
问题情境：
如图1，已知矩形
中，点
是
的中点，连接
．将矩形沿剪开，得到四边形
和四边形
．
（1）求证：四边形是矩形；
操作探究：
保持矩形位置不变，将矩形从图1的位置开始，绕点
按逆时针方向旋转，设旋转角为
（
）．操作中，提出了如下向题，请你解答：
（2）如图2，当矩形旋转到点
落在线段
上时，线段恰好经过点
，设
与
相交于点
.判断四边形
的形状，并说明理由；
（3）请从
两题中任选一题作答，我选择题．
A．在矩形旋转过程中，连接线段
和
．当
时，直接写出旋转角的度数．
B．已知矩形中，
．在矩形旋转过程中，连接线段和，当时，直接写出的长．
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【题目】某校九年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如下表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B、E两组发言人数的比为5:2,请结合图中相关数据回答下列问题：
（1）则样本容量容量是______________，并补全直方图；
（2）该年级共有学生500人，请估计全年级在这天里发言次数不少于12的次数；
（3）已知A组发言的学生中恰有1位女生，E组发言的学生中有2位男生，现从A组与E组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率。
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是
的中点，AE⊥AC于A，与⊙O及CB的延长线交于点F，E，且
.
(1)求证：△ADC∽△EBA；
(2)如果AB＝8，CD＝5，求tan∠CAD的值．
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