Question

【题目】已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．B的坐标为(1，0)，且OC＝4OB．

(1)求点C坐标及抛物线的解析式；

(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求△ACD面积的最大值；

(3)若点E在x轴上,点P在抛物线上．是否存在以A,C,E,P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，直接写出P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)y＝x2+3x﹣4；(2)三角形ACD面积的最大值＝8；(3)存在3个点符合题意，坐标分别是P1(﹣3，﹣4)，P2(，4)和P3(，4)．

【解析】

（1）根据点B的坐标，可求OB的长度，进而可求OC的长度，则C的坐标可求；将B,C两点坐标代入中，用待定系数法可求抛物线解析式.

（2）过点D作轴分别交线段AC和x轴于点M,N，利用待定系数法求出直线AC的解析式，设出点D,M的坐标，故可得出，即可得出结论.

（3）①过点C作 轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形，由的纵坐标等于点C的纵坐标，得到方程，求出x的值即可得到点P的坐标；

②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC=PE时，四边形为平行四边形，结合①可求点P的坐标.

（1）

将B,C代入中，

得

∴抛物线的解析式为

（2）

过点D作轴分别交线段AC和x轴于点M,N

∵抛物线的解析式为

设直线AC的解析式为

将A,C代入得得

设

则

当时，DM有最大值4，所以最大值为8

（3）①如图，过点C作 轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形

令

或

②如图，平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC=PE时，四边形为平行四边形

可令，由，得

解得或

此时存在点和

综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是P1(﹣3，﹣4)，P2(，4)和P3(，4)．