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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    已知：将一副三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如图①摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点．将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H．
    （1）当α=30°时（如图②），求证：AG=DH；
    （2）当0°＜α＜90°时，（1）中的结论是否成立？请根据图③说明理由．
    （3）在Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转过程中，DM与DN的比值是否发生改变？如果不改变，请直接写出比值；如果改变，请说明理由．
    分析：（1）由题意可证得：∠A=∠ADM=30°，∠BDC=∠B=60°，然后根据等角对等边的性质，可得MA=MD，CB=CD，又由三线合一，即可证得答案；
    （2）首先证得△AGM∽△NHB与Rt△MGD∽Rt△DHN，根据相似三角形的对应边成比例，易得
    AG
    NH
    =
    MG
    BH
    ①与
    DH
    MG
    =
    NH
    DG
    ②，然后利用比例的性质，即可证得AG=DH；
    （3）由Rt△MGD∽Rt△DHN与AG=DH，易得
    DM
    DN
    =
    MG
    AG
    =tan∠A，继而求得答案．
    解答：（1）证明：由题意可得：∠A=∠ADM=30°，
    ∴MA=MD，
    又∵MG⊥AD于点G，
    ∴AG=DG，
    ∵∠BDC=180°-∠ADE-∠EDF=180°-30°-90°=60°=∠B，
    ∴CB=CD，
    ∴C与N重叠，
    又∵NH⊥DB于点H，
    ∴DH=BH，
    ∵AD=DB，
    ∴AG=DH；

    （2）解：当0°＜α＜90°时，（1）中的结论成立．
    如图③，在Rt△AMG中，∠A=30°，
    ∴∠AMG=60°=∠B，
    又∵∠AGM=∠NHB=90°，
    ∴△AGM∽△NHB，
    ∴
    AG
    NH
    =
    MG
    BH
    ，…①
    ∵∠MDG=α，
    ∴∠DMG=90°-α=∠NDH，
    又∵∠MGD=∠DHN=90°，
    ∴Rt△MGD∽Rt△DHN，
    ∴
    DH
    MG
    =
    NH
    DG
    ，…②
    ①×②，得  
    DG
    AG
    =
    BH
    DH
    ，
    由比例的性质，得 
    DG+AG
    AG
    =
    BH+DH
    DH
    ，
    即 
    AD
    AG
    =
    BD
    DH
    ，
    ∵AD=DB，
    ∴AG=DH；

    （3）在Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转过程中，
    DM
    DN
    值没有改变，
    ∵Rt△MGD∽Rt△DHN，
    ∴
    DM
    DN
    =
    MG
    DH
    ，
    ∵AG=DH，
    ∴
    DM
    DN
    =
    MG
    AG
    =tan∠A=tan30°=
    		3
    3
    ，
    ∴
    DM
    DN
    =
    		3
    3
    ．
    点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、三角函数的性质、等腰三角形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是掌握数形结合思想与转化思想的应用．
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    （北师大版）已知：将一副三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如图1摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点．将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H．
    （1）当α=30°时（如图2），求证：AG=DH；
    （2）当α=60°时（如图3），（1）中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由；
    （3）当0°＜α＜90°时，（1）中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图④说明理由．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：将一副三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如图①摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB中点，将Rt△DEF绕着点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H．
    （1）猜想：在旋转过程中，AG与DH的数量关系是：
    相等
    相等
    ；
    （2）就旋转角α的情况，请选择图②、③、④中的一种情况，对你的猜想进行证明．
    友情提示：若选择图②（即α=30°时），满分为8分；若选择图③（即α=60°时），满分为10分；选择图④（即任意情况0°＜α＜90°时）．

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    科目：初中数学 来源：2010年浙江省湖州市菱湖一中八年级上学期期中考试数学卷 题型：解答题

    已知：将一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如图①摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点。将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H.
    【小题1】当α＝30°时，DF刚好过点C(如图②)，求证：AM=DM；
    【小题2】在（1）的条件下，试判断线段AG与DH的数量关系，并说明理由；
    【小题3】“当在Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转过程中时α=60°(如图③)，(2)中的结论是否成立？

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    科目：初中数学 来源：2010年浙江省湖州市八年级上学期期中考试数学卷 题型：解答题

    已知：将一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如图①摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点。将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H.

    1.当α＝30°时，DF刚好过点C(如图②)，求证：AM=DM；

    2.在（1）的条件下，试判断线段AG与DH的数量关系，并说明理由；

    3.“当在Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转过程中时α=60°(如图③)，(2)中的结论是否成立？

     

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