Question

【题目】如图，在正方形中，点是边上的一点（不与、重合），点在的延长线上，且满足，连接、，与边交于点．

（1）求证：；

（2）如果，求证：．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）由正方形的性质得出AB＝AD，∠CAD＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CDA＝∠B＝90°，然后根据等量代换得出∠BAM＝∠DAN，利用ASA可证△ABM≌△ADN，从而利用全等三角形的性质即可证明AM＝AN；

（2）根据正方形的性质和得出∠CAM＝∠NAD，∠ACB＝∠MNA＝45°，从而有△AMC∽△AEN，则＝，又因为AN＝AM，所以有AN2＝AEAC．

解：证明（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠CAD＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CDA＝∠B＝90°，

∴∠BAM＋∠MAD＝90°，∠ADN＝90°

∵∠MAN＝90°，

∴∠MAD＋∠DAN＝90°，

∴∠BAM＝∠DAN，

且AD＝AB，∠ABC＝∠ADN＝90°

∴△ABM≌△ADN（ASA）

∴AM＝AN，

（2）∵AM＝AN，∠MAN＝90°，

∴∠MNA＝45°，

∵∠CAD＝2∠NAD＝45°，

∴∠NAD＝22.5°

∴∠CAM＝∠MAN﹣∠CAD﹣∠NAD＝22.5°

∴∠CAM＝∠NAD，∠ACB＝∠MNA＝45°，

∴△AMC∽△AEN

∴＝，且AN＝AM，

∴AN2＝AEAC