Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+4x+c（a≠0）与反比例函数y＝的图象相交于点B，且点B的横坐标为5，抛物线与y轴交于点C（0，6），A是抛物线的顶点，P和Q分别是x轴和y轴上的两个动点，则AQ+QP+PB的最小值为_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

根据题意求得B的坐标，然后根据待定系数法求得抛物线的解析式，从而求得顶点A的坐标，求得A关于y轴的对称点A′（-2，10），B点关于x轴的对称点B′为（5，-1），根据两点之间线段最短，即可判断AQ+QP+PB=A′B′是AQ+QP+PB的最小值，利用勾股定理求得即可．

∵点B在反比例函数y＝的图象，且点B的横坐标为5，

∴点B的纵坐标为：y＝＝1，

∴B（5，1），

∵抛物线y＝ax2+4x+c（a≠0）与反比例函数y＝的图象相交于点B，与y轴交于点C（0，6），

∴，解得，

∴抛物线为y＝﹣x2+4x+6，

∵y＝﹣x2+4x+6＝﹣（x﹣2）2+10，

∴A（2，10），

∴A关于y轴的对称点A′（﹣2，10），

∵B（5，1），

∴B点关于x轴的对称点B′为（5，﹣1），

连接A′B′交x轴于P，交y轴于Q，此时AQ+QP+PB的值最小，即AQ+QP+PB＝A′B′，

A′B′＝＝，

故AQ+QP+PB的最小值为．