Question

【题目】如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，点，与轴相交于点，与抛物线的对称轴相交于点.

（1）求该抛物线的表达式，并直接写出点的坐标；

（2）过点作交抛物线于点，求点的坐标；

（3）在（2）的条件下，点在射线上，若与相似，求点的坐标.

Answer 1

【答案】（1），点；（2）点；（3）或

【解析】

（1）设抛物线的表达式为，将A、B、C三点坐标代入表达式，解出a、b、c的值即可得到抛物线表达式，同理采用待定系数法求出直线BC解析式，即可求出与对称轴的交点坐标；

（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H．先证∠EAH=∠ACO，则tan∠EAH=tan∠ACO=，设EH=t，则AH=2t，从而可得到E(-2+2t，t)，最后，将点E的坐标代入抛物线的解析式求解即可；

（3）先证明，再根据与相似分两种情况讨论，建立方程求出AF，利用三角函数即可求出F点的坐标.

（1）设抛物线的表达式为.

把，和代入得

，解得，

抛物线的表达式，

∴抛物线对称轴为

设直线BC解析式为，

把和代入得

，解得

∴直线BC解析式为

当时，

点.

(2)如图，过点E作EH⊥AB，垂足为H.

∵∠EAB+∠BAC=90°,∠BAC+∠ACO=90°，

∴∠EAH=∠ACO.

∴tan∠EAH=tan∠ACO=.

设EH=t，则AH=2t，

∴点E的坐标为(2+2t,t).

将(2+2t,t)代入抛物线的解析式得：12(2+2t)2(2+2t)4=t，

解得：t=或t=0(舍去)

∴

（3）如图所示，

，

.

，

，

.

由（2）中tan∠EAH=tan∠ACO可知，

.

和相似，分两种情况讨论：

①，即，

，

∵tan∠EAB=

∴sin∠EAB=

∴F点的纵坐标=

点.

②，即，

，

同①可得F点纵坐标=

横坐标=

点.

综合①②，点或.