练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，OABC是一个放在平面直角坐标系中的矩形，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=3，OC=4，平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分精英家教网别交于点M、N，直线运动的时间为t（秒）．
    （1）写出点B的坐标；
    （2）t为何值时，MN=
    12
    AC；
    （3）设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值？并求S的最大值．
    分析：（1）由于四边形OABC是矩形，可直接根据OA、OC的长写出B点的坐标；
    （2）此题要分两种情况考虑：
    ①M在线段OA上，N在线段OC上时，即0＜t≤3时，若MN=
    1
    2
    AC，则MN是△OAC的中位线，此时OA=2OM，据此可求出t的值；
    ②M在线段AB上，N在线段BC上时，即3＜t＜6时，若MN=
    1
    2
    AC，则MN是△ABC的中位线，设直线m与x轴的交点为D，可证得△AMD≌△BMN，由此可得BN=AD，进而可求出OD的长及t的值；
    （3）参照（2）的解题思路，此题也要分作两种情况：
    ①当0＜t≤3时，M在线段OA上，N在线段OC上；可用t分别表示出OM、ON的长，进而可求出S、t的函数关系式；
    ②当3＜t＜6时，M在线段AB上，N在线段BC上；此时△OMN的面积，可由矩形OABC、△OMD、△OCN的面积差求得；
    得出相关的函数解析式后，根据函数的性质及对应的自变量的取值范围，即可求出S的最大值及对应的t的值．
    解答：解：（1）点B的坐标是（3，4）；（1分）

    （2）当0＜t≤3时，∵MN∥AC，且MN=
    1
    2
    AC，精英家教网
    ∴M是AB的中点；
    ∴t=1.5秒；
    当3＜t＜6时，
    设直线m与x轴交点为D，
    ∵MN∥AC且MN=
    1
    2
    AC，
    ∴M为AB的中点；
    可证：△AMD≌△BMN；
    ∴BN=AD=t-3；
    ∴△BMN∽△BAC；
    ∴
    BN
    BC
    =
    MN
    AC

    ∴
    t-3
    3
    =
    1
    2
    ；
    ∴t=4.5秒；精英家教网
    当t=1.5秒或t=4.5秒时，MN=
    1
    2
    AC；（3分）

    （3）当0＜t≤3时，OM=t；
    由△OMN∽△OAC，得
    OM
    OA
    =
    ON
    OC
    ，
    ∴ON=
    3
    4
    t，S=
    2
    3
    t2；（4分）
    当3＜t＜6时，
    ∵OD=t，
    ∴AD=t-3；
    易知四边形ADNC是平行四边形，
    ∴CN=AD=t-3，BN=6-t；
    由△BMN∽△BAC，可得BM=
    4
    3
    BN=8-
    4
    3
    t，
    ∴AM=-4+
    4
    3
    t；
    S=S矩形OABC-SRt△OAM-SRt△MBN-SRt△NCO
    =12-
    3
    2
    （-4+
    4
    3
    t）-
    1
    2
    ×（8-
    4
    3
    t）（6-t）-
    4
    2
    （t-3）
    =-
    2
    3
    t2+4t；
    当0＜t≤3时，
    ∵抛物线S=
    2
    3
    t2的开口向上，在对称轴t=0的右边，S随t的增大而增大，
    ∴当t=3时，S可取到最大值
    2
    3
    ×32=6．
    当3＜t＜6时，
    ∵抛物线S=-
    2
    3
    t2+4t的开口向下，它的顶点是（3，6），
    ∴S＜6；（8分）
    综上，当t=3时，S有最大值6．
    点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有矩形的性质、三角形中位线定理、全等三角形及相似三角形的判定和性质、二次函数的应用等．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，OABC是一个放在平面直角坐标系中的矩形，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=3，OC=4，平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线运动的时间为t(秒)．

    (1)写出点B的坐标；

    (2)t为何值时，MN=AC；

    (3)设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值?并求S的最大值．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：2013届安徽省毫州市风华中学九年级上学期期末测试数学试卷（一）（带解析） 题型：解答题

    如图，OABC是一个放在平面直角坐标系中的矩形，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=3，OC=4，平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线运动的时间为t(秒)．

    (1)写出点B的坐标；
    (2)t为何值时，MN=AC；
    (3)设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值?并求S的最大值．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：2011-2012学年沪科版九年级（上）期末数学综合测试卷（一）（解析版） 题型：解答题

    如图，OABC是一个放在平面直角坐标系中的矩形，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=3，OC=4，平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线运动的时间为t（秒）．
    （1）写出点B的坐标；
    （2）t为何值时，MN=AC；
    （3）设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值？并求S的最大值．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：2008-2009学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷（解析版） 题型：解答题

    如图，OABC是一个放在平面直角坐标系中的矩形，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=3，OC=4，平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线运动的时间为t（秒）．
    （1）写出点B的坐标；
    （2）t为何值时，MN=AC；
    （3）设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值？并求S的最大值．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案