Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥BC交BC于点E，且DE＝AD，F为DC上一点，且AD＝FD，连接AF与DE交于点G．

（1）若∠C＝60°，AB＝2，求GF的长；

（2）过点A作AH⊥AD，且AH＝CE，求证：AB＝DG+AH．

Answer 1

【答案】（1）GF＝1；（2）证明见解析．

【解析】

（1）过G作GH⊥CD于H，根据三角形的内角和得到∠CDE＝60°，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AB＝CD＝2，得到∠ADC＝120°，解直角三角形即可得到结论；

（2）根据全等三角形的性质得到∠ADH＝∠EDC，∠H＝∠C，DH＝DC，根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，推出∠DFA＝∠C，在DH上截取HM＝AH，得到∠HAM＝∠HMA，求得∠DAM＝∠H，根据全等三角形的性质即可得到结论．

解：（1）如图1，过G作GH⊥CD于H，

∵DE⊥BC，

∴∠DEC＝90°，

∵∠C＝60°，

∴∠CDE＝30°，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB＝CD＝2，

∴∠ADC＝120°，

∵AD＝DF，

∴∠DAF＝∠DFA＝30°，

∴∠GDF＝∠DFG，

∴DG＝GF，

∵CD＝2，

∴DE＝CD＝，

∴DF＝，

∴HF＝DF＝，

∴GF＝1；

（2）∵AH⊥AD，DE⊥BC，

∴∠DAH＝∠DEC＝90°，

在△DAH与△DEC中，，

∴△DAH≌△DEC（SAS），

∴∠ADH＝∠EDC，∠H＝∠C，DH＝DC，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∴∠DAB＝∠C，∠DFA＝∠BAF，

∵AD＝DF，

∴∠DAF＝∠DFA，

∴∠DFA＝∠C，

如图2，在DH上截取HM＝AH，

∴∠HAM＝∠HMA，

∴∠H＝180°﹣2∠HAM，

∵∠MAD＝90°﹣∠HAM，

∴∠DAM＝∠H，

∴∠MAD＝∠GFD，

在△ADM与△FDG中，，

∴△ADM≌△FDG（ASA），

∴DM＝DG，

∵AB＝CD＝DH＝HM+DM，

∴AB＝AH+DG．