在△ABC中.∠ACB=2∠B.∠C=90°.AD为∠BAC的平线交BC于D.求证:AB=AC+CD．(提示:在AB上截取AE=AC.连接DE)当∠C≠90°时.其他条件不变.线段AB.AC.CD又有怎样的数量关系.直接写出结果.不需要证明．当∠ACB≠90°.AD为△ABC的外角∠CAF的平分线.交BC的延长线于点D.则线段 AB.AC.CD又有怎样的数量� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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15．（1）如图（1）在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠C=90°，AD为∠BAC的平线交BC于D，求证：AB=AC+CD．（提示：在AB上截取AE=AC，连接DE）
（2）如图（2）当∠C≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需要证明．
（3）如图（3）当∠ACB≠90°，AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段 AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．

分析（1）在AB上截取AE=AC，连接DE，根据角平分线的定义得到∠1=∠2．推出△ACD≌△AED（SAS）．根据全等三角形的性质得到∠AED=∠C=90，CD=ED，根据已知条件得到∠B=45°．求得∠EDB=∠B=45°．得到DE=BE，等量代换得到CD=BE．即可得到结论；
（2）在AC取一点E使AB=AE，连接DE，易证△ABD≌△AED，所以∠B=∠AED，BD=DE，又因为∠B=2∠C，所以∠AED=2∠C，因为∠AED是△EDC的外角，所以∠EDC=∠C，所以ED=EC，BD=EC，进而可证明AB+BD=AE+EC=AC；
（3）在AB的延长线AF上取一点E，使得AE=AC，连接DE．证明△ACD≌△AED，根据全等三角形的性质得到DE=BE，BE=CD，即可得出结论．

解答解：（1）如图1所示，在AB上截取AE=AC，连接DE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2．
在△ACD和△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AE}\\{∠1=∠2}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△AED（SAS）．
∴∠AED=∠C=90，CD=ED，
又∵∠ACB=2∠B，∠C=90°，
∴∠B=45°．
∴∠EDB=∠B=45°．
∴DE=BE，
∴CD=BE．
∵AB=AE+BE，
∴AB=AC+CD．

（2）证明：在AB取一点E使AC=AE，
在△ACD和△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AE}\\{∠BAD=∠EAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△AED，
∴∠C=∠AED，CD=DE，
又∵∠C=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
∵∠AED是△EDC的外角，
∴∠EDB=∠B，
∴ED=EB，
∴CD=EB，
∴AB=AC+CD；

（3）AB=CD-AC
证明：在BA的延长线AF上取一点E，使得AE=AC，连接DE，
在△ACD和△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AE}\\{∠CAD=∠EAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴∠ACD=∠AED，CD=DE，
∴∠ACB=∠FED，
又∵∠ACB=2∠B，
∴∠FED=2∠B，
又∵∠FED=∠B+∠EDB，
∴∠EDB=∠B，
∴DE=BE，
∴BE=CD，
∴AB=CD-AC．

点评本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，作出辅助线构造成全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．

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