Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点．对称轴为直线，点在抛物线上．

（1）求直线的解析式；

（2）为直线下方抛物线上的一点，连接、．当的面积最大时，在直线上取一点，过作轴的垂线，垂足为点，连接、．若时，求的值；

（3）将抛物线沿轴正方向平移得到新抛物线，经过原点．与轴的另一个交点为．设是抛物线上任意一点，点在直线上，能否成为以点为直角顶点的等腰直角三角形？若能，直接写出点的坐标．若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）能．，，，

【解析】

（1）求出C、D两点坐标，利用待定系数法即可解决问题；

（2）求出抛物线与轴交点、两点的坐标，设，则，根据二次函数的性质求出E的坐标，可得当时，最大，因为关于直线的对称点为，的垂直平分线交直线于点，过作轴的垂线，由勾股定理得，即可解决问题；

（3）存在．如图2中．作P1M⊥x轴于M，P1N⊥对称轴l于N．对称轴l交OA于K，由△P1MF≌△P1NQ，推出P1M=P1N，推出点P在∠MKN的角平分线上，只要求出直线KP1的解析式，构建方程组即可解决问题，同法可求P3，P4．

解：（1）∵当时， ，

∴．

又∵在抛物线上，

∴

，

∴．

设的解析式为．

∴

解得：

∴的解析式为．

(2) ∵令，

∴．

解得：．

∴， ．

设，

∴．

∴当时，最大．

∴．

又∵关于直线的对称点为，

∴的垂直平分线交直线于点，

∴过作轴的垂线，垂足为．

此时，，，．

在中，由勾股定理得：．

又∵直线与轴间的距离为1，

∴．

（3）能．，，

，