Question

如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=

k

x

的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA=

10

，点B的坐标为（m，-2），tan∠AOC=

1

3

．
（1）求反比例函数、一次函数的解析式；
（2）求三角形ABO的面积；
（3）在y轴上存在一点P，使△PDC与△CDO相似，求P点的坐标．

Answer 1

（1）过A作AE⊥x轴于E，
tan∠AOE=

1

3

，
∴OE=3AE，
∵OA=

10

，由勾股定理得：OE²+AE²=10，
解得：AE=1，OE=3，
∴A的坐标为（3，1），
∵A点在双曲线上y=

k

x

上，
∴1=

k

3

，
∴k=3，
∴双曲线的解析式y=

3

x

；
∵B（m，-2）在双曲y=

3

x

上，
∴-2=

3

m

，
解得：m=-

3

2

，
∴B的坐标是（-

3

2

，-2），
代入一次函数的解析式得：

3a+b=1 - 3 2 a+b=-2

，
解得：

a= 2 3 b=-1

，
则一次函数的解析式为：y=

2

3

x-1；

（2）连接BO，
∵一次函数的解析式为：y=

2

3

x-1；
∴D（0，-1），
∴S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD=

1

2

×DO×3+

1

2

×DO×

3

2

=

1

2

×1×3+

1

2

×1×

3

2

=

9

4

；

（3）过点C作CP⊥AB，交y轴于点P，
∵C，D两点在直线y=

2

3

x-1上，
∴C，D的坐标分别是：C（

3

2

，0），D（0，-1）．
即：OC=

3

2

，OD=1，
∴DC=

13

2

．
∵△PDC∽△CDO，
∴

PD

DC

=

DC

DO

，
∴PD=

DC2

OD

，
又∵OP=DP-OD=

13

4

-1=

9

4

，
∴P点坐标为（0，

9

4

）．