Question

【题目】已知：抛物线．

（1）求证：抛物线与轴有两个交点．

（2）设抛物线与轴的两个交点的横坐标分别为，（其中）．若是关于的函数、且，求这个函数的表达式；

（3）若，将抛物线向上平移一个单位后与轴交于点、．平移后如图所示，过作直线，分别交的正半轴于点和抛物线于点，且．是线段上一动点，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）的最小值

【解析】

（1）通过计算判别式的值，即可得到结论；

（2）根据一元二次方程的求根公式，用含a的代数式表示抛物线与轴的两个交点的横坐标，，即可得到答案；

（3）易得直线，然后联立：，求出点C的坐标，过作轴于点N，过作于点，过作轴于点，把的最小值化为2(MB+GM)的最小值，即可得到答案．

（1）∵，

，

，

∴抛物线与轴有两个交点；

（2）令，则，

或，

，

且，

，，

，即：；

（3）当，则，向上平移一个单位得：．

令，则得：，

，，

，

直线，

联立： ，解得：，，

即，

过作轴于点N，过作于点，过作轴于点，

轴，

∴，

，

，

∵MB+GM≥CH，

的最小值=CH=，

的最小值=．