Question

【题目】如图，是的直径，是的切线，切点为，交于点，点是的中点.

(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；

(2)若的半径为2，，，求图中阴影部分的周长.

Answer 1

【答案】(1)直线与相切；理由见解析；(2).

【解析】

（1）连接OE、OD，根据切线的性质得到∠OAC=90°，根据三角形中位线定理得到OE∥BC，证明△AOE≌△DOE，根据全等三角形的性质、切线的判定定理证明；

（2）根据切线长定理可得DE=AE=2.5，由圆周角定理可得∠AOD=100°，然后根据弧长公式计算弧AD的长，从而可求得结论．

解：（1）直线DE与⊙O相切，

理由如下：连接OE、OD，如图，

∵AC是⊙O的切线，

∴AB⊥AC，

∴∠OAC=90°，

∵点E是AC的中点，O点为AB的中点，

∴OE∥BC，

∴∠1=∠B，∠2=∠3，

∵OB=OD，

∴∠B=∠3，

∴∠1=∠2，

在△AOE和△DOE中

∵OA=OD

∠1=∠2

OE=OE，

∴△AOE≌△DOE（SAS）

∴∠ODE=∠OAE=90°，

∴DE⊥OD，

∵OD为⊙O的半径，

∴DE为⊙O的切线；

（2）∵DE、AE是⊙O的切线，

∴DE=AE，

∵点E是AC的中点，

∴DE=AE=AC=2.5，

∵∠AOD=2∠B=2×50°=100°，

∴阴影部分的周长=．