Question

14．如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，△ABC和△EDF的点都在网格的格点上．
（1）求证：△ABC∽△EDF；
（2）求∠BAC的度数．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理可分别求出两个三角形的各个边长，再验证对应边的比值相等即可证明△ABC∽△EDF；
（2）由相似三角形的性质可得对应角相等，所以∠BAC=∠FED，由给出的图形易求∠FED的度数，进而可求出∠BAC的度数．

解答 （1）证明：∵DE=$\sqrt{2}$，DF=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，EF=2，AB=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，AC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，BC=5，
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{EF}=\frac{BC}{DF}=\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴△ABC∽△EDF；
（2）∵△ABC∽△EDF，
∴∠BAC=∠FED，
∵∠FED=90°+45°=135°，
∴∠BAC=135°．

点评 本题考查了相似三角形的判定、相似三角形的性质以及勾股定理的运用，求∠BAC的度数转化为求∠FED的度数是解题的关键．