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如图,正方形ABCD的边长为4cm,点P是BC边上不与点B、C重合的任意一点,连接AP,过P点作PQ⊥AP精英家教网交DC于Q点,设BP的长为xcm,CQ的长为ycm.
(1)求y与x之间的函数关系式并写出x的取值范围;
(2)求点P在BC边上运动的过程中y的最大值.
分析:(1)由题意知:PQ⊥AP,即:∠APB+∠QPC=90°,∠BAP+∠APB=180°-∠B=90°,所以∠QPC=∠BAP,又∠B=∠C,即:△ABP∽△PCQ,由相似三角形的性质可得:
BP
CQ
=
AB
PC
,CQ=
PC
AB
×BP,又BP=x,PC=BC-BP=4-x,AB=4,将其代入该式求出CQ的值即可;
(2)利用“配方法”求该函数的最大值.
解答:解:如上图所示:
(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠B=∠C=90°
∵PQ⊥AP,
∴∠APB+∠QPC=90°
∠APB+∠BAP=90°
∴∠BAP=∠QPC
∴△ABP∽△PCQ
BP
CQ
=
AB
PC
,即
x
y
=
4
4-x

∴y=-
1
4
x2
+x(0<x<4);

(2)∵y=-
1
4
x2
+x
∴y=-
1
4
(x-2)2
+1
∴当x=2时,y有最大值1cm.
点评:本题主要考查正方形的性质和二次函数的应用,关键在于理解题意运用三角形的相似性质求出y与x之间的函数关系,求最大值时,运用到“配方法”.
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