Question

如图，正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC边上不与点B、C重合的任意一点，连接AP，过P点作PQ⊥AP交DC于Q点，设BP的长为xcm，CQ的长为ycm．
（1）求y与x之间的函数关系式并写出x的取值范围；
（2）求点P在BC边上运动的过程中y的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题意知：PQ⊥AP，即：∠APB+∠QPC=90°，∠BAP+∠APB=180°-∠B=90°，所以∠QPC=∠BAP，又∠B=∠C，即：△ABP∽△PCQ，由相似三角形的性质可得：

BP

CQ

=

AB

PC

，CQ=

PC

AB

×BP，又BP=x，PC=BC-BP=4-x，AB=4，将其代入该式求出CQ的值即可；
（2）利用“配方法”求该函数的最大值．

解答：解：如上图所示：
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°
∵PQ⊥AP，
∴∠APB+∠QPC=90°
∠APB+∠BAP=90°
∴∠BAP=∠QPC
∴△ABP∽△PCQ
∴

BP

CQ

=

AB

PC

，即

x

y

=

4

4-x

∴y=-

1

4

x2+x（0＜x＜4）；

（2）∵y=-

1

4

x2+x
∴y=-

1

4

(x-2)2+1
∴当x=2时，y有最大值1cm．

点评：本题主要考查正方形的性质和二次函数的应用，关键在于理解题意运用三角形的相似性质求出y与x之间的函数关系，求最大值时，运用到“配方法”．