Question

【题目】如图1是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，，摆动臂可绕点旋转，．

（1）在旋转过程中

①当、、三点在同一直线上时，求的长，

②当、、三点为同一直角三角形的顶点时，求的长．

（2）若摆动臂顺时针旋转，点的位置由外的点转到其内的点处，如图2，此时，，求的长．

（3）若连接（2）中的，将（2）中的形状和大小保持不变，把绕点在平面内自由旋转，分别取、、的中点、、，连接、、、随着绕点在平面内自由旋转， 的面积是否发生变化，若不变，请直接写出的面积；若变化，的面积是否存在最大与最小?若存在，请直接写出面积的最大值与最小值，（温馨提示）

Answer 1

【答案】（1）①或；②长为或；（2）；（3）的面积会发生变化；存在，最大值为：，最小值为：

【解析】

（1）①分两种情形分别求解即可；
②显然不能为直角；当为直角时，根据计算即可；当为直角时，根据计算即可；

（2）连接，，证得为等腰直角三角形，根据SAS可证得，根据条件可求得，根据勾股定理求得，即可求得答案；

（3）根据三角形中位线定理，可证得是等腰直角三角形，求得，当取最大时，面积最大，当取最小时，面积最小，即可求得答案．

（1）①，

或；

②显然不能为直角；

当为直角时，，

即，

解得：；

当为直角时，，

即，

；

综上：长为或；

（2）如图，连接，，

根据旋转的性质得：为等腰直角三角形，

∴，，

，，，

，

，

在和中，

，

，

，

又∵，

，

，

；

（3）发生变化，存在最大值和最小值，

理由：如图，

点P，M分别是，的中点，

，，

点N，P分别是，的中点，

，，

，

，

是等腰三角形，

，

，

，

，

，

，

，

，

是等腰直角三角形；

∴

，

当取最大时，面积最大，

∴

，

当取最小时，面积最小，

∴

故：的面积发生变化，存在最大值和最小值，最大值为：，最小值为：．