Question

19．抛物线y=ax²+bx+c的顶点为D（-1，2），与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：
①b²-4ac＞0；②a+b+c＜0；③a=c-2；④方程ax²+bx+c=0的根为-1．
其中正确的结论为（　　）

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 ①根据二次函数y=ax²+bc+c的图象与x轴有两个交点，可得△＞0，即b²-4ac＞0，据此判断即可．
②根据二次函数y=ax²+bc+c的图象的对称轴是x=-1，与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，可得与x轴的另一个交点A在点（0，0）和（1，0）之间，所以x=1时，y＜0，据此判断即可．
③首先根据x=-$\frac{b}{2a}=-1$，可得b=2a，所以顶点的纵坐标是$\frac{4ac{-b}^{2}}{4a}=\frac{4ac{-4a}^{2}}{4a}=c-a$=2，据此判断即可．
④根据x=-1时，y≠0，所以方程ax²+bx+c=0的根为-1这种说法不正确，据此判断即可．

解答 解：∵二次函数y=ax²+bc+c的图象与x轴有两个交点，
∴△＞0，
即b²-4ac＞0，
∴结论①正确；

∵二次函数y=ax²+bc+c的图象的对称轴是x=-1，与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，
∴与x轴的另一个交点A在点（0，0）和（1，0）之间，
∴x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴结论②正确；

∵x=-$\frac{b}{2a}=-1$，
∴b=2a，
∴顶点的纵坐标是$\frac{4ac{-b}^{2}}{4a}=\frac{4ac{-4a}^{2}}{4a}=c-a$=2，
∴a=c-2，
∴结论③正确；

∵x=-1时，y≠0，
∴方程ax²+bx+c=0的根为-1这种说法不正确，
∴结论④不正确．
∴正确的结论为：①②③．
故选：A．

点评 此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．