Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AD平分∠BAC交BC于点D．

（1）求tan∠DAB；

（2）若⊙O过A、D两点，且点O在边AB上，用尺规作图的方法确定点O的位置并求出的⊙O半径．（保留作图轨迹，不写作法）

Answer 1

【答案】（1）；（2）作图见解析；r=.

【解析】

（1）过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，再利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AC，再利用勾股定理列式求出AB，然后求出BE，设CD=DE=x，表示出BD，然后利用勾股定理列出方程求解即可得到CD的长，进而得出结论．
（2）要使⊙O过A、D两点，即OA=OD，所以点O在线段AD的垂直平分线上，且圆心O在AC边上，所以作出AD的垂直平分线与AC的交点即为点O；利用相似三角形的性质，即可得到⊙O的半径．

（1）过点D作DE⊥AB于E，

∵AD平分∠BAC，

∴CD=DE，

在Rt△ACD和Rt△AED中，

，

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），

∴AE=AC=3，

由勾股定理得，AB==5，

∴BE=AB﹣AE=5﹣3=2，

设CD=DE=x，则BD=4﹣x，

在Rt△BDE中，DE2+BE2=BD2，

x2+22=（4﹣x）2，

解得x=，

即CD的长为，

∴Rt△ACD中，tan∠DAC=，

∴tan∠DAB=；

（2）如图，点O即为所求，连接OD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵AD平分∠BAC，

∴∠OAD=∠CAD，

∴∠CAD=∠ODA，

∴OD∥AC，

∴△BDO∽△BCA，

∴，

设OD=AO=r，则BO=5﹣r，

∴，

∴r=，即⊙O半径为．