Question

【题目】如图，正方形ABCD，点E为BC中点，点F在边CD上，连接AE、EF，若∠FEC＝2∠BAE，CF＝8，则线段AE的长为_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

根据题意连接AF，过点A作AM⊥EF，设∠BAE=α，则∠FEC=2α，根据全等三角形的性质得到DF=MF，同理EM=BE，设DF=a，则CD=8+a，由点E为BC边上的中点，得到BE=EC=EM=a+4，求得EF=a+4，根据勾股定理列方程即可得到结论．

解：连接AF，过点A作AM⊥EF，如图所示，

∵∠FEC＝2∠BAE，

设∠BAE＝α，则∠FEC＝2α，

∴∠BEA＝90°﹣α，

∴∠AEM＝90﹣α，

∴∠AEB＝∠AEM，

∵AB⊥BE，AM⊥EM，

∴AB＝AM＝AD，

∵AF＝AF，

∴Rt△AMF≌Rt△ADF（HL），

∴DF＝MF，

同理EM＝BE，

设DF＝a，则CD＝8+a，

点E为BC边上的中点，

∴BE＝EC＝EM＝a+4，

∴EF＝a+4，

∴（a+4）2+82＝（a+4）2，

解得a＝4（负值舍去），

∴DF＝4，

∴AB＝12，BE＝6，

∴AE＝＝6，

故答案为：6．