Question

22、已知，如图，正方形ABCD中，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到F使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G．
（1）求证：∠EBC=∠FDC；
（2）取BD中点O，连GO，则GO与BF有怎样的位置关系？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的性质可以证得△BCE≌△DCF，即可证得；
（2）根据全等三角形的对应角相等，以及直角三角形的性质，即可证得BG⊥FD，即可证得G是DF的中点，根据三角形的中位线定理即可证得．

解答：（1）证明：∵ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=∠DCF=90°，
又∵CF=CE，
∴△BCE≌△DCF
∴∠EBC=∠FDC
（2）GO∥BF
证明：∵ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，
∴∠FDC+∠F=90°，
又∵∠EBC=∠FDC，
∴∠EBC+∠F=90°，
∴BG⊥FD
∵BE平分∠DBC，BG=BG
∴△BDG≌△FBG
∴DG=FG
∵OB=OD
∴GO∥BF．

点评：本题主要考查了正方形的性质，以及三角形的中位线的性质定理，正确证得△BDG≌△FBG是证明的关键．