Question

已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC是以AC为斜边的Rt△时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）设过点A的直线与抛物线在第一象限的交点为N，当△ACN的面积为

15

8

时，求直线AN的解析式．

Answer 1

分析：（1）直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可得到函数的解析式，再用公式法可求出抛物线的对称轴；
（2）设点P（1，y）是直线l上的一个动点，作CF⊥l于F，l交x轴于E，则AC²=AO²+CO²=10，CP²=CF²+PF²=1+（3-y）²=y²-6y+10，若△PAC是以AC为斜边的Rt△时，则y²-6y+10+4+y²=10，进而求出P的坐标；
（3）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC、②MA=MC、②AC=MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解；
（4）设直线AN的解析式为y=kx+b，且交y轴于点K，由S_△ACN=S_△ACK+S_△CKN=

1

2

CK•OA+

1

2

CK•NJ=

1

2

（3-k）×1+

1

2

（3-k）²=

1

2

（k²-7k+12），当△ACN的面积为

15

8

时，代入求出k的值即可．

解答：解：（1）将A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y=ax²+bx+c中，得：

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得：

a=-1 b=2 c=3

，
故抛物线的解析式是y=-x²+2x+3，对称轴为：直线x-

b

2a

=1；

（2）设点P（1，y）是直线l上的一个动点，作CF⊥l于F，l交x轴于E，
则AC²=AO²+CO²=10，CP²=CF²+PF²=1+（3-y）²=y²-6y+10，
AP²=AE²+PE²=4+y²，∴由CP²+AP²=AC²，
得：y²-6y+10+4+y²=10，解得y=1或y=2，
则P点的坐标为P₁（1，1）、P₂（1，2）；

（3）设点M（1，m），与（2）同理可得：AC²=10，CM²=m²-6m+10，AM²=4+m²
①当AC=CM时，10=m²-6m+10，解得：m=0或m=6（舍去），
②当AC=AM时，10=4+m²，解得：m=

6

或m=-

6

，
③当CM=AM时，m²-6m+10=4+m²，解得：m=1，
检验：当m=6时，M、A、C三点共线，不合题意，故舍去；
综上可知，符合条件的M点有4个，
M坐标为（1，0）、（1，

6

）、（1，-

6

）、（1，1）；

（4）设直线AN的解析式为y=kx+b，且交y轴于点K，
∵过点A（-1，0），
∴y=kx+k，
∴K（0，k），
∵N是直线AN与抛物线的交点，
∴kx+k=-x²+2x+3，解得x=3-k或x=-1（舍去），
∵N点的横坐标为x=3-k （k＜3），
由S_△ACN=S_△ACK+S_△CKN=

1

2

CK•OA+

1

2

CK•NJ=

1

2

（3-k）×1+

1

2

（3-k）²
=

1

2

（k²-7k+12），
令

15

8

=

1

2

（k²-7k+12），
解得k=

11

2

（舍去），或k=

3

2

，
故直线AN的解析式为y=

3

2

x+

3

2

．

点评：考查了二次函数综合题，涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解．