Question

【题目】如图 1，直线与轴，轴分别交于点，点，抛物线经过点，点和点，并与直线交于另一点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图 2，点为轴上一动点，连接，当时，求点 的坐标；

（3）如图 3，将抛物线平移，使其顶点是坐标原点，得到抛物线；将直线向下平移经过坐标原点，交抛物线于另一点．点，点是上且位于 第一象限内一动点，交于点，轴分别交于，试说明：与存在一个确定的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），理由详见解析

【解析】

（1）利用待定系数法将A、B、C三点的坐标代入即可求解；

（2）P点分在A点的左边和右边的两种情况（图见详解），当P点在A点右边时，证出，即可通过相似比求出AP1的长度从而求出P1点坐标；当P点在A点左边时，通过证出，得到AK的长度，从而求出K点坐标，再利用待定系数法求出直线CK的解析式，P2就是直线CK与x轴的交点；

（3）根据题意求出移动后的抛物线及直线OF的解析式，设出动点N的坐标，通过联立方程用N点的坐标表示出Q、R、S的横坐标，通过观察这三个横坐标的值即可得出数量关系．

解：（1）直线经过B点，且B点在x轴上，

．

将代入，得：

抛物线的解析式．

（2）如下图所示，设

由

得，

．

I.当点在点的右边，记此时的点为，

时，．

II.当点在点的左边，时，

记此时的点为，则有

过点作轴的垂线,交于点，

则，又公共边,

，

设直线，，

直线，

的坐标：．

（3），理由如下：

依题意，抛物线的解析式：

的解析式：

设

直线的解析式：

直线的解析式：

联立与

解得

解得

即点S是点Q、点R的中点，

即．