Question

如图，在矩形ABCD中对角线AC、BD相交于点F，延长BC到点E，使得四边形ACED是一个平行四边形，平行四边形对角线AE交BD、CD分别为点G和点H．
（1）证明：DG²=FG•BG；
（2）若AB=5，BC=6，则线段GH的长度．

Answer 1

分析：（1）由已知可证得△ADG∽△EBG，△AGF∽△EGD，根据相似三角形的对应边成比例即可得到DG²=FG•BG；
（2）由已知可得到DH，AH的长，又因为△ADG∽△EBG，从而求得AG的长，则根据GH=AH-AG就得到了线段GH的长度．

解答：解：（1）证明：∵ABCD是矩形，且AD∥BC，
∴△ADG∽△EBG．
∴

DG

BG

=

AG

GE

．
又∵△AGF∽△DGE，
∴

AG

GE

=

FG

DG

．
∴

DG

BG

=

FG

DG

．
∴DG²=FG•BG．

（2）∵ACED为平行四边形，AE，CD相交点H，
∴DH=

1

2

DC=

1

2

AB=

5

2

．
∴在直角三角形ADH中，AH²=AD²+DH²
∴AH=

13

2

．
又∵△ADG∽△BGE，
∴

AG

GE

=

AD

BE

=

1

2

．
∴AG=

1

2

GE=

1

3

×AE=

1

3

×13=

13

3

．
∴GH=AH-AG=

13

2

-

13

3

=

13

6

．

点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定，平行四边形的性质及矩形的性质等知识点的掌握情况．