Question

15．如图，平面直角坐标系中，直线AB：y=-$\frac{1}{3}$x+b交y轴于点A（0，1），交x轴于点B，过点E（1，0）作x轴的垂线EF交AB于点D，点P从D出发，沿着射线ED的方向向上运动，设PD=n．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；
（3）若以P为直角顶点，PB为直角边在第一象限作等腰直角△BPC，请问随着点P的运动，点C是否也在同一直线上运动？若在同一直线上运动，请求出直线解析式；若不在同一直线上运动，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A的坐标代入直线AB的解析式，即可求得b的值，然后在解析式中，令y=0，求得x的值，即可求得B的坐标；
（2）过点A作AM⊥PD，垂足为M，求得AM的长，即可求得△BPD和△PAB的面积，二者的和即可求得；
（3）利用等腰直角三角形的性质，判断出，△PCG≌△BPE，即可得出EG=n+$\frac{8}{3}$，CG=n+$\frac{2}{3}$，即可得出点C坐标，即可得出结论．

解答 解：（1）∵y=-$\frac{1}{3}$x+b经过A（0，1），
∴b=1，
∴直线AB的解析式是y=-$\frac{1}{3}$x+1．
当y=0时，0=-$\frac{1}{3}$x+1，解得x=3，
∴点B（3，0）．

（2）如图，过点A作AM⊥PD，垂足为M，则有AM=1，
∵x=1时，y=-$\frac{1}{3}$x+1=$\frac{2}{3}$，P在点D的上方，
∴PD=n-$\frac{2}{3}$，
∴S_△APD=$\frac{1}{2}$PD•AM=$\frac{1}{2}$×1×（n-$\frac{2}{3}$）=$\frac{1}{2}$n-$\frac{1}{3}$，
由点B（3，0），可知点B到直线x=1的距离为2，即△BDP的边PD上的高长为2，
∴S_△BPD=$\frac{1}{2}$PD×2=n-$\frac{2}{3}$，
∴S_△PAB=S_△APD+S_△BPD=$\frac{1}{2}$n-$\frac{1}{3}$+n-$\frac{2}{3}$=$\frac{3}{2}$n-1
（3）随着点P的运动，点C是也在同一直线上运动，此直线的解析式为y=x+1，
如图1，过点C作CG⊥EF，
∴∠PCG+∠CPG=90°，
∵△BPC是等腰直角三角形，
∴BP=CP，∠BPC=90°，
∴∠CPG+∠BPE=90°．
∴∠PCG=∠BPE，
在△PCG和△BPE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PGC=∠BEP=90°}\\{∠PCG=∠BPE}\\{CP=BP}\end{array}\right.$，
∴△PCG≌△BPE，
∴CG=PE，PG=BE，
∵B（3，0），E（1，0），
∴BE=2，
∴PG=2，
∵点D在直线AB上，
∴D（1，$\frac{2}{3}$），
∴DE=$\frac{2}{3}$，
∵PD=n，
∴PE=DE+PD=n+$\frac{2}{3}$，EG=PE+PG=n+$\frac{2}{3}$+2=n+$\frac{8}{3}$，
∴CG=n+$\frac{2}{3}$，
∴C（n+$\frac{5}{3}$，n+$\frac{8}{3}$），
设C（x，y），
∴x=n+$\frac{5}{3}$，y=n+$\frac{8}{3}$，
∴y=x+1．
即：随着点P的运动，点C是也在同一直线上运动，此直线的解析式为y=x+1．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，三角形的面积计算方法，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是判断△PCG≌△BPE，坐标系中求三角形的面积的常用方法是作出三角形的铅锤高．