Question

如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△DFA；
（2）如果AD=10，AB=6，求cos∠EDF的值．

Answer 1

分析：（1）根据直角三角形的性质可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB=∠DAF，然后利用“角角边”证明△ABE和△DFA全等；
（2）根据全等三角形对应边相等可得DF=AB，利用勾股定理列式求出AF的长度，从而得到EF的长度，再利用勾股定理列式求出DE的长度，然后根据余弦=

邻边

斜边

列式计算即可得解．

解答：（1）证明：在矩形ABCD中，AD=BC，AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAF，
∵AE=BC，
∴AE=AD，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°，
∴∠AFD=∠B=90°，
在△ABE和△DFA中，
∵

∠AFD=∠B=90° ∠AEB=∠DAF AE=AD

，
∴△ABE≌△DFA（AAS）；

（2）解：根据（1）△ABE≌△DFA，
∴DF=AB=6，
在Rt△ADF中，AF=

AD2-DF2

=

102-62

=8，
∴EF=AE-AF=10-8=2，
在Rt△DEF中，DE=

DF2+EF2

=

62+22

=2

10

，
∴cos∠EDF=

DF

DE

=

6

2 10

=

3 10

10

．

点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数，准确识图找准对应边与对应角是解题的关键．