Question

抛物线y=-x²+2bx-（2b-1）（b为常数）与x轴相交于A（x₁，0），B（x₂，0）（x₂＞x₁＞0）两点，设OA•OB=3（O为坐标系原点）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为C，抛物线的对称轴交x轴于点D，求证：点D是△ABC的外心；
（3）在抛物线上是否存在点P，使S_△ABP=1？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）解：由题意，得x₁•x₂=2b-1．
∵OA•OB=3，OA=x₁OB=x₂，
∴x₁•x₂=3．
∴2b-1=3．
∴b=2．
∴所求的抛物线解析式是：y=-x²+4x-3．

（2）证明：如图，
∵y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1，
∴顶点C（2，1），D（2，0），CD=1．
令y=0，得-x²+4x-3=0．
解得x₁=1，x₂=3．
∴A（1，0），B（3，0），AD=DB=1．
∴AD=DC=DB．
∴D为△ABC的外心．

（3）解法一：设抛物线存在点P（x，y），使S_△ABP=1．
由（2）可求得AB=3-1=2．
∴S_△ABP=AB•|y|=×2•|y|=1．
∴y=±1．
当y=1时，-x²+4x-3=1，解得x₁=x₂=2．
当y=-1时，-x²+4x-3=-1，解得x=2±．
∴存在点P，使S_△ABP=1．
点P的坐标是（2，1）或（2+，-1）或
（2-，-1）．
解法二：由（2）得S_△ABC=AB•CD=×2×1=1．
∴顶点C（2，1）是符合题意的一个点．
另一方面，直线y=-1上任一点M，能使S_△AMB=1，
把直线y=-1代入抛物线解析式，得-x²+4x-3=-1．
解得x=2±．
∴存在点P，使S_△ABP=1．
点P的坐标是（2，1）或（2+，-1）或（2-，-1）．
分析：（1）∵OA•OB=3，即x₁•x₂=3，由根与系数关系可求b，确定抛物线解析式；
（2）根据抛物线的对称性可得DA=DB，只要证明AD=CD即可，求出抛物线的顶点C坐标和两交点A、B坐标即可解答本题；
（3）由于AB=2，∴△ABC的AB边上高是1，可知P点纵坐标为1或者-1，分别代入抛物线解析式，可求P点横坐标．
点评：本题考查了用根与系数关系求二次函数解析式，三角形外心的判断方法及三角形面积问题，具有较强的综合性．