Question

【题目】已知直线y1＝x﹣5与双曲线y2＝﹣．

（1）求证：无论p取何值时，两个函数的图象恒有两个交点；

（2）设两个交点分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），且满足x12+x22＝3x1x2，求实数p的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）p＝±1

【解析】

（1）根据两个函数解析式，得到方程x2﹣5x+6﹣p2＝0，求根的判别式△，当△＞0时，方程总有两个不相等的实数根；

（2）根据根与系的关系求出两根和与两根积，再把x12+x22＝3x1x2变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于p的一元二次方程，解方程即可．

解：（1）联立方程组，

可得x2﹣5x+6﹣p2＝0，

∴△＝（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p2）＝25﹣24+4p2＝1+4p2，

∵无论p取何值时，总有4p2≥0，

∴△＝1+4p2＞0，

∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

（2）∵x1+x2＝5，x1x2＝6﹣p2，

又∵x12+x22＝3x1x2，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝3x1x2，

∴52＝5（6﹣p2），

解得p＝±1，

∴实数p的值为±1．