Question

已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA＜OB），直角顶点C落在y轴正半轴上，点D的坐标为（2，0）．
（1）填空：线段OA的长度为______，OB的长度为______，经过点A、B、C的抛物线的关系式为______；
（2）点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m＞0，n＞0），连接DP交BC于点E，当△BDE是等腰三角形时，请直接写出此时点E的坐标．
（3）连接CD、CP，△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由．

Answer 1

（1）解：设OA的长为x，则OB=5-x；
∵OC=2，AB=5，∠BOC=∠AOC=90°，∠OAC=∠OCB；
∴△AOC∽△COB，
∴OC²=OA•OB
∴2²=x（5-x），
解得：x₁=1，x₂=4，
∵OA＜OB，∴OA=1，OB=4；
∴点A、B、C的坐标分别是：A（-1，0），B（4，0），C（0，2）；
方法一：设经过点A、B、C的抛物线的关系式为：y=ax²+bx+2，
将A、B、C三点的坐标代入得：

解得：，
所以这个二次函数的表达式为：y=-x²+x+2，
方法二：设过点A、B、C的抛物线的关系式为：y=a（x+1）（x-4），
将C点的坐标代入得：a=-，
所以这个二次函数的表达式为：y=-x²+x+2，
故答案为：1，4，y=-x²+x+2；

（2）解：如图1，当DE=EB时，过点E作EF⊥BD于点F，
∵BO=4，OD=2，∴BD=2，
∵DE=BE，EF⊥BD，
∴DF=FB=BD=1，
∴OF=OD+DF=3，
∵EF⊥BO，CO⊥BO，
∴EF∥CO，
∴△COB∽△EFB，
∴=，
∴=，
∴EF=，
故E点坐标为：（3，），
如图2，当EB=BD时，过点E作EM⊥BO于点M，
∵CO=2，BO=4，
∴BC=2，
∵点D的坐标为（2，0），
∴BD=BE=4-2=2，
∵EM∥CO，
∴△COB∽△EMB，
∴=，
∴=，
∴EM=，
∵==，
∴BM=，
∴MO=4-，
∴故E点坐标为：（4-，），
如图3，当DE=BD时，过点E作EN⊥BO于点N，
设E点横坐标为x，则ND=2-x，故BN=4-x，
∵=，
∴EN=（4-x），
∴在Rt△END中，
EN²+ND²=ED²，
即[（4-x）]²+（2-x）²=2²，
解得：x=，
∴EN=（4-x）=，
故点E的坐标是：（，），
故当△BDE是等腰三角形时，点E的坐标分别是：（3，），（，），（4-，）．

（3）解：如图4，连接OP，
∵P点坐标为：（m，n），
∴P到CO距离为m，P到x轴距离为n，
S_△CDP=S_{四边形CODP}-S_△COD=S_△COP+S_△ODP-S_△COD，
=×2m+×2n-×2×2=m+n-2
=-m²+m，
=-（m-）²+，
∴当m=时，n=，此时△CDP的面积最大．此时P点的坐标为（，），
S_△CDP的最大值是．
分析：（1）由Rt△ABC中，CO⊥AB可证△AOC∽△COB，由相似比得OC²=OA•OB，设OA的长为x，则OB=5-x，代入可求OA，OB的长，确定A，B，C三点坐标，求抛物线解析式；
（2）根据△BDE为等腰三角形，分为DE=EB，EB=BD，DE=BD三种情况，分别求E点坐标；
（3）将求△CDP的面积问题转化，如图4，连接OP，根据S_△CDP=S_{四边形CODP}-S_△COD=S_△COP+S_△ODP-S_△COD，表示△CDP的面积；再利用二次函数的性质求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据直角三角形中斜边上的高分得的两个三角形相似，以及根据等腰三角形的性质求E点坐标，利用作辅助线的方法表示△CDP的面积，由二次函数的性质求三角形面积的最大值．