Question

【题目】综合与实践:

问题情境:在一次综合实践活动课上,同学们以菱形为对象,研究菱形旋转中的问题:已知,在菱形中, 为对角线, ,,将菱形绕顶点顺时针旋转,旋转角为(单位),旋转后的菱形为,在旋转探究活动中提出下列问题,请你帮他们解决.

观察证明:

(1)如图1,若旋转角,与相交于点,与相交于点,请说明线段与的数量关系;

操作计算:

(2)如图2,连接,菱形旋转的过程中,当与互相垂直时, 的长为 ;

(3)如图3,若旋转角,分别连接,,过点分别作,,连接,菱形旋转的过程中,发现在中存在长度不变的线段,请求出长度;

操作探究:

(4)如图4,在(3)的条件下,请判断以,,三条线段长度为边的三角形是什么特殊三角形,并说明理由.

Answer 1

【答案】（1），理由详见解析；（2）；（3）2；（4）以,,三条线段为边的三角形是直角三角形,理由详见解析.

【解析】

(1)根据菱形的性质以及旋转的性质，证得，根(证得≌，可以得到结论；

(2)根据菱形的性质以及条件与互相垂直，证明、在同一直线上，利用锐角三角函数求得对角线的长，继而求得结论；

(3)利用等腰三角形三线合一的性质，是的中位线，从而证明；

(4) 以为边向外作等边三角形，利用等边三角形的性质以及证得≌，得到，把,,三条线段归结到一个三角形中，易证得是直角三角形，从而得到结论.

(1) ,理由如下:

∵四边形是菱形

∴

∴

由旋转的性质可得: ,,,

∴

∴

即

在和中

∴≌()

∴

(2) 菱形中, , ,

∴平分 (等腰三角形三线合一),

∴,

∵,

∴

∴、在同一直线上，

如图，菱形中, 为对角线, ,,

∴,

∴

∴

∴

故答案是：

(3)如图,连接,由题可得:

∵

∴(等腰三角形三线合一),同理

∴是的中位线

∴

∵四边形是菱形

∴

又∵ ,是等边三角形

∴

∴

(4)以,,三条线段为边的三角形是直角三角形,理由如下:

如图,以为边向外作等边三角形,连接,

∵四边形是菱形,

∴与是等边三角形,

由(3)可知: 与都是等腰三角形

∴

∵与是等边三角形

∴,,

∴

∴

在和中

∴≌()

∴,

∴

∴是直角三角形

即以,,三条线段长度为边的三角形是直角三角形.